1/(1+e^x)の積分について

頻出の積分計算ですが、考え方に少しコツがいるので紹介します。

なお、数式が手書きであるのはお許しください。（いつかlatex覚えたい）

方法1：分子の1を 1 + e^x - e^x に変形する

分子をこのように変形することで 1 + e^x の微分形 e^x をうまく作り出しています。

方法2：分母分子を e^x で割る

このようにしても積分を計算することができます。この場合、分母分子を e^x で割ることで e^(-x) に関する積分にしているのですね。そうすることで分子に {1+e^(-x)} の微分形を作り出しています。

方法1と方法2の結果が同じであることの証明

方法1と方法2で出てきた結果は一見違うように見えるのですが、実際は同じものです。次のようにして証明できます。

なお、この他に t = e^x と置換することによってもこの積分を計算することができます。

まとめ

いずれの方法にしろ、分子の1を処理して分母の関数 (1 + e^x や 1 + e^-x )の微分形を作り出すことが肝になっています。この積分計算はよく見かけるので、ぜひ覚えておくと良いでしょう。