問題
次の問いに答えなさい。ただし、arcsinxは-\dfrac{π}{2}以上\dfrac{π}{2}の値を取るものとする。
(1)次の不定積分を求めなさい。
\int arcsin2x\,dx
(2) xy平面のグラフy=arcsin2x \Bigl(-\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq\dfrac{1}{2}\Bigl)とx軸、および2直線x=-\dfrac{1}{2},x=\dfrac{\sqrt3}{4}で囲まれた部分の面積を求めなさい。
解答
可能な限り公式に頼らず、逆三角関数の微積を丁寧に導出したい。積分計算は煩雑になるため、何を計算しているかを意識してミスを防げるようにしたい。
(1)
準備のために、arcsin2xを微分する。
y=arcsin2x\Leftrightarrow2x=siny\\
両辺をxで微分すると
2=\dfrac{dy}{dx}cosy\\
\therefore \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{cosy}
ここでcosy=\sqrt{1-sin^2y}=\sqrt{1-4x^2}であるため、
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}
積分に戻る。部分積分で解いていく。
\begin{split}
\int 1\cdot arcsin2x\,dx&=x\cdot arcsin2x -\int x\cdot \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx\\
&=x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{4}\int\Bigl(1-4x^2\Bigl)'\cdot\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}dx\\
&=x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}+C
\end{split}
\therefore \int arcsin2x\,dx=\underline{x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}+C}
(2)
グラフのイメージは以下の通り。よって積分区間を分けて考える。
求める面積をSとすると計算は以下のようになる。
\begin{split}
S&=\int_{\frac{1}{2}}^0 -arcsin2x\,dx+\int_0^{\frac{\sqrt3}{4}}arcsin2x\,dx\\
&=-\Bigl[x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigl]_{\frac{1}{2}}^0+\Bigl[x\cdot arcsin2x+\dfrac{1}{2}{\sqrt{1-4x^2}}\Bigl]_0^{\frac{\sqrt3}{4}}\\
&=-\Bigl\{\bigl(0+\dfrac{1}{2}\bigl)-\bigl(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{π}{2}+0\bigl)\Bigl\}+\Bigl\{\bigl(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{π}{3}+\dfrac{1}{4}\bigl)-\bigl(0+\dfrac{1}{2}\bigl)\Bigl\}\\
&=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{π}{4}+\dfrac{\sqrt3π}{12}-\dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{3+\sqrt3}{12}π-\dfrac{3}{4}
\end{split}
\therefore S=\underline{\dfrac{3+\sqrt3}{12}π-\dfrac{3}{4}}
