高校数学の参考書・問題集ひたすら解いてみる（その2）整式の加法・減法・乗法（2）

さて、ではその2始めましょー。

章節、ページは基本は以下の書籍をベースとしています。
増補改訂版　チャート式　解法と演習　数学Ⅰ＋Ａ

数学Ⅰ
第１章 数と式

１ 整式の加法・減法・乗法

さて、今回は
19ページ EXERCISES
8(2) 沖縄国際大から出題された問題を解いてみたいと思います。

えー、今回は果てしないですよ。笑
最後までお付き合いいただけるとありがたいですが…

問題です
$${(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
この式を展開します。
それでは解いていきましょう！
前半の$${(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)}$$の項を並び替えます。
$${=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
では$${x^2+y^2}$$を$${A}$$、$${xy}$$を$${B}$$と置きます。
$${=(A+B)(A-B)(x^2-x^2y^2+y^4)}$$
$${A}$$、$${B}$$に置き換えた個所の展開をします。
$${=(A^2-B^2)(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
$${A}$$、$${B}$$を元に戻します。
$${=\{(x^2+y^2)^2-(xy)^2\color{black}\}(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
$${(xy)^2}$$は展開しちゃいます。
$${=\{(x^2+y^2)^2-x^2y^2\}(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
前半の$${\{(x^2+y^2)^2-x^2y^2\}}$$の$${x^2}$$を$${X}$$、$${y^2}$$を$${Y}$$と置きます。
$${=\{(X+Y)^2-XY\}(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
前半を展開します。
$${=\{(X^2+2XY+Y^2)-XY\}(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
前半を計算します。($${XY}$$をまとめます。)
$${=(X^2+2XY+Y^2-XY)(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
$${=(X^2+2XY-XY+Y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
$${=(X^2+XY+Y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
$${X}$$、$${Y}$$を元に戻します。
$${=\{(x^2)^2+x^2y^2+(y^2)^2\}(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
$${=(x^4+x^2y^2+y^4)(x^4-x^2y^2+y^4)}$$
項を並び替えます。
$${=(x^4+y^4+x^2y^2)(x^4+y^4-x^2y^2)}$$
ここで$${x^4+y^4}$$と$${x^2y^2}$$の置換えをしたいところですが、
今回は置き換えずにやってみたいと思います。
和と差の積$${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$の$${a}$$が$${x^4+y^4}$$、$${b}$$が$${x^2y^2}$$として計算してみます。
$${=(x^4+y^4)^2-(x^2y^2)^2}$$
あとは一気に計算してみましょう。
$${=(x^4)^2+2(x^4)(y^4)+(y^4)^2-x^4y^4}$$
$${=x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4}$$
$${=x^8+2x^4y^4-x^4y^4+y^8}$$
$${=x^8+x^4y^4+y^8}$$
はい、解けましたぁ～！

ちなみに参考書の解説では9行の式でまとめられています。
倍の行使ってますね。さらに説明文も入れるともっと…
いやぁ、果てしない。

長くなったので終わりたいと思います。
次回はちょっとしたポイントをお話ししたいなと思います。

でわまた。