高校数学の参考書・問題集ひたすら解いてみる（その7）因数分解（3）

さて、ではその7始めましょー。
その5に続いて因数分解をやってみます。

なお、章節は基本は以下の書籍をベースとしています。
増補改訂版　チャート式　解法と演習　数学Ⅰ＋Ａ

26ページ　PRACTICE13 (2)
法政大で出題された問題です。

$${8x^3+12x^2y+4xy^2+6x^2+9xy+3y^2}$$
これを解いていきます。
さて、複数の文字を含む因数分解は
最低次数の文字について整理する。
ていうの覚えてないとなかなか面倒な問題ではないでしょうか。

というわけでｘとｙの次数見てみます。
ｘ：$${8x^3}$$なので3次
ｙ：$${4xy^2}$$または$${3y^2}$$なので2次
ということでyについて整理します。

まずは項を入れ替えます。
$${=4xy^2+3y^2+12x^2y+9xy+8x^3+6x^2}$$
次に共通因数でくくります。
（ここは図を挿入します）

くくり方は$${y}$$の次数でまとめます。
上の図だと赤（2次）、青（1次）、緑（定数）でくくります。

では赤の部分を共通因数でくくります。赤は$${y^2}$$でくくれますので
$${4xy^2+3y^2=(4x+3)y^2}$$
となります。

次に青の部分を共通因数でくくります。$${y}$$以外にもくくれそうなものが
ありますね。$${x}$$が1つと定数部分も$${12=3\times4}$$、$${9=3\times3}$$で$${3xy}$$でくくれます。
$${12x^2y+9xy=4x\times3xy+3\times3xy=(4x+3)3xy}$$

最後に緑の部分を共通因数でくくります。
$${x^2}$$と定数でくくれそうです。
$${8x^3+6x^2=4x\times2x^2+3\times2x^2=(4x+3)2x^2}$$

では元の式にあてはめます。
$${4xy^2+3y^2+12x^2y+9xy+8x^3+6x^2}$$
$${=(4x+3)y^2+(4x+3)3xy+(4x+3)2x^2}$$

さて、それぞれの項共通因数でくくった項を見てみると
今度は$${(4x+3)}$$が共通因数になっています。
なので共通因数でくくります。
$${=(4x+3)(y^2+3xy+2x^2)}$$
あとは$${(y^2+3xy+2x^2)}$$の部分を因数分解します。

$${x^2}$$の項は以下の積となります。
$${2x^2=2x\times x}$$
また、上の積で得られた$${2x}$$と$${x}$$の和は
$${2x+x=3x}$$となりますので2次3項の式の因数分解をすると
$${(y^2+3xy+2x^2)}$$
$${=\{y^2+(2x+x)y+(2x\times x)\}}$$
$${=(y+2x)(y+x)=(2x+y)(x+y)}$$となります。
（一応$${x}$$を先に書いておきます）
では元の式に入れます。
$${(4x+3)(y^2+3xy+2x^2)}$$
$${=(4x+3)(2x+y)(x+y)}$$
はい、解けました～！

今回は共通因数でくくるところがポイントのようでした。
さて、因数分解も回数が増えてきたのでそろそろ
おしまいにしようかなぁと思いつつ、
もう少し続けようと思います。
（ちょっと書きたいことがあるので）

ということで今回はおしまいにしたいと思います。
でわまた。