高校数学の参考書・問題集ひたすら解いてみる（その4）因数分解（1）

さて、ではその4始めましょー。
今回から何回か因数分解をやっていきます。

なお、章節は基本は以下の書籍をベースとしています。
増補改訂版　チャート式　解法と演習　数学Ⅰ＋Ａ

数学Ⅰ
第１章 数と式

２　因数分解

さて、因数分解も整式の前節の『整式の加法・減法・乗法』と同じく
入学試験の時には冒頭の数問で出題されて、
大問として出題されることは少ないと思ってます。
（思ってるだけ？かなぁ？）

ただ、多くの問題の計算過程でほぼほぼ使用するものなので
確実に身に着けておく章節ですね。

基本事項についてもすべて重要ですね。
理解しておきたいです。

さて、それでは実際に問題を解いてみることにします。

24ページ 例題12 (1)
近畿大で出題された問題です。

$${(x^2+x-1)(x^2+x-5)+3}$$

これを因数分解していきます。
まず、一旦$${(x^2+x-1)(x^2+x-5)}$$この部分を展開します。
$${x^2+x}$$を$${A}$$に置き換えて計算します。

$${=(A-1)(A-5)+3}$$
$${=(A^2-6A+5)+3}$$
$${=A^2-6A+5+3}$$
$${=A^2-6A+8}$$

さて、これで2次3項式の形になりました。
2次3項式の因数分解は
$${x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}$$
となるので
$${(a+b)=-6}$$、$${ab=8}$$となるaとbの組を求めます。
まぁ直観でもわかると思うのですが、少し地道にやってみようと思います。
$${ab=8}$$となるaとbの組み合わせですが、

$${1\times8=8}$$
$${2\times4=8}$$
$${4\times2}$$、$${8\times1}$$は交換法則でダブるので省略します。
さて、上の2つの組だけでしょうか？
いえいえ、まだありますよね。
$${(-1)\times(-8)=8}$$
$${(-2)\times(-4)=8}$$
これら、4つの組み合わせですね。（$${(-8)\times(-1)}$$、$${(-4)\times(-2)}$$は交換法則でダブるので省略します。）
ではこの4組の中から$${(a+b)=-6}$$となるaとbは…
$${a=-2}$$、$${b=-4}$$ですよね。（逆でも良いですが）
ではaとbが分かりましたので元の式に組み込んでみましょう。

$${=A^2-6A+8}$$
$${=A^2+\{(-2)+(-4)\}A+\{(-2)\times(-4)\}}$$
では因数分解します
$${=\{A+(-2)\}\{A+(-4)\}}$$
$${=(A-2)(A-4)}$$
ではAを元に戻します。

$${=\{(x^2+x)-2\}\{(x^2+x)-4\}}$$
$${=(x^2+x-2)(x^2+x-4)}$$
さて、これで終わりでしょうか？
いえいえ、まだ因数分解できそうです。
$${(x^2+x-2)}$$、$${(x^2+x-4)}$$は共に2次3項式です。
なので$${(a+b)=1}$$、$${ab=-2}$$となるaとbの組と
$${(a+b)=1}$$、$${ab=-4}$$となるaとbの組を考えてみます。

残念ながら$${(a+b)=1}$$、$${ab=-4}$$となるaとbの組はなさそうです。
なので$${(x^2+x-4)}$$は因数分解できなさそうです。
$${(a+b)=1}$$、$${ab=-2}$$となるaとbの組はありそうですね。
そう、$${a=2}$$、$${b=-1}$$です。（逆でも良いです）
組み合わせ見つけるところは省略しちゃいました。すんません。

では因数分解してみましょう。
$${=(x^2+x-2)(x^2+x-4)}$$
$${=[x^2+\{2+(-1)\}x+\{2\times(-1)\}](x^2+x-4)}$$
$${=(x+2)\{x+(-1)\}(x^2+x-4)}$$
$${=(x+2)(x-1)(x^2+x-4)}$$
はい、解けましたぁ～！

いやぁ～、長いですね。（わざと長くしてる…かな。笑）
でも、時間はかかりますけど確実に解けます。
（集中力が続けば…ですがね。）
次回も因数分解やってみたいと思います。

それではまた。