複素微分 df(z)/dz

問題

$${z=x+iy\,(x,y\in\mathbb{R},z\neq0)}$$に対して、

$$
f(z)=\ln z=u(x,y)+iv(x,y)\,\,(z\neq0)
$$

とおく。以下の問いに答えよ。

(1) 実関数$${u(x,y),v(x,y)}$$を求めよ。
(2) $${\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}}$$をそれぞれ求めよ。
(3) $${\dfrac{df(z)}{dz}}$$を求めよ。

解答

(1)

$$
z=x+iy=\sqrt{x^2+y^2}\exp\left(i\arctan\dfrac{y}{x}+2k\pi i\right)\,(k\in\mathbb{Z})
$$

と表せるので、$${\ln z}$$に代入すると、

$$
\ln(x+iy)=\ln\left(\sqrt{x^2+y^2}\exp\left(i\arctan\dfrac{y}{x}+2k\pi i \right)\right)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+i\left(\arctan\dfrac{y}{x}+2k\pi \right)
$$

したがって、

$$
\begin{align*}
u(x,y)&=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)\\
v(x,y)&=\arctan\dfrac{y}{x}+2k\pi\,\,(k\in\mathbb{Z})
\end{align*}
$$

(2)

$$
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x}&=\frac{x}{x^2+y^2}\\
\frac{\partial u}{\partial y}&=\frac{y}{x^2+y^2}\\
\frac{\partial v}{\partial x}&=\dfrac{-\dfrac{y}{x^2}}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}=-\frac{y}{x^2+y^2}\\
\frac{\partial v}{\partial y}&=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}=\frac{x}{x^2+y^2}
\end{align*}
$$

(3)

$${z=x+iy,\overline{z}=x-iy}$$に対して、

$$
\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial x}&=\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\frac{\partial \overline{z}}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial z}+\frac{\partial }{\partial\overline{z}}\\
\frac{\partial }{\partial y}&=\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial }{\partial \overline{z}}\frac{\partial \overline{z}}{\partial y}=i\frac{\partial }{\partial z}-i\frac{\partial }{\partial\overline{z}}
\end{align*}
$$

であり、$${\displaystyle\frac{\partial }{\partial z},\frac{\partial }{\partial \overline{z}}}$$について解くと

$$
\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial z}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}\right)\\
\frac{\partial }{\partial \overline{z}}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}\right)
\end{align*}
$$

となる。よって、

$$
\begin{align*}
\frac{df(z)}{dz}&=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\right)-i\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)
+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}
-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{x}{x^2+y^2}
+\frac{x}{x^2+y^2}
\right)
+i\left(
-\frac{y}{x^2+y^2}
-\frac{y}{x^2+y^2}
\right)\right\}\\
&=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}\\
&=\frac{1}{x+iy}\\
&=\frac{1}{z}
\end{align*}
$$

正則関数なら少し簡単に求められる

この問題では、$${\ln z=u(x,y)+iv(x,y)}$$について、$${u_x=v_y,v_x=-u_y}$$がいえることから、正則関数であることが分かります。その際は、

$$
\frac{df(z)}{dz}=u_x+iv_x
$$

とかけます。