式変形補足　時間微分

時間での微分について補足です。ソローモデルの解説時に省略した部分を解説します。なお、試験的に有料で配信します。

この記事を読むことで、$${\dfrac{d\log{Y}}{dt}\\\,\\=\dfrac{\Delta{Y}}{Y},もしくは\dfrac{\dot{Y}}{Y}}$$となる過程が納得できると思います。

コブダグラス型関数で解説

コブダグラス型関数を例にしていましょう。変化率を求めていきます。
$${Y=AK^{a}L^{1-a}}$$

まずは対数を取ります

$${\log{Y}=\log{A}+a\log{K}+(1-a)\log{L}}$$

ここで$${時間ｔ}$$で微分します。ぞれぞれの変数$${Y,A,K,L}$$と時間は関連のある数値なので、微分して０になることはなく、合成関数を用います。

試しに$${\log{Y}}$$のみやっていきましょう