あきん、光と磁気2、ファラデー効果（ファラデー配置とフォークスト配置）

現代人の物理1シリーズ「光と磁気　改訂版」
著者：佐藤勝昭
発行者：朝倉邦造
発行所：株式会社朝倉書店
主に、p.32-40の内容をまとめる。

上述の本では、物理定数の実部と虚部についてやたらと議論していたが、その部分を省いて短くしてみる。

上述の本、p.9、図2.5　ファラデー配置(a)とフォークスト配置(b)

前回の復習

前回の記事では、マクスウェル方程式の4つの式のうちの2式
　$${rot\textbf{\textit{H}} = \textbf{\textit{J}}+ \frac{∂ \textbf{\textit{D}}}{∂t} …(1)}$$
　$${rot\textbf{\textit{E}} = -\frac{∂\textbf{\textit{B}}}{∂t} …(2)}$$
に
　$${\textbf{\textit{B}} = \mu_0 \textbf{\textit{H}} …(5) }$$
　$${\textbf{\textit{D}} = \epsilon \epsilon_0 \textbf{\textit{E}} …(6)}$$
　$${\textbf{\textit{J}} = 0 …(7)}$$
を代入し、連立微分方程式
　$${rot\textbf{\textit{H}} = \epsilon\epsilon_0\frac{∂\textbf{\textit{E}}}{∂t} …(1)'}$$
　$${rot\textbf{\textit{E}} = -\mu_0\frac{∂\textbf{\textit{H}}}{∂t} …(2)'}$$
を得た。この解の形を
　$${{\textbf{\textit{E}}} = {\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) …(8) }$$
　$${ {\textbf{\textit{H}}} = {\textbf{\textit{H}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})…(9)}$$
と想定して(1)'、(2)'に代入することで
$${rot\textbf{\textit{H}} = \epsilon\epsilon_0\frac{∂\textbf{\textit{E}}}{∂t} …(1)'}$$
からは
$${\textbf{\textit{K}}\times\textbf{\textit{H}} =  -\epsilon\epsilon_0\omega \textbf{\textit{E}} …(1)''}$$
が、
$${rot\textbf{\textit{E}} = -\mu_0\frac{∂\textbf{\textit{H}}}{∂t} …(2)'}$$
からは
$${\textbf{\textit{K}}\times\textbf{\textit{E}} =  -\omega \mu_0 \textbf{\textit{H}} …(2)''}$$
が得られた。この(1)''と(2)''式から$${\textbf{\textit{H}}}$$を消去し、$${c}$$を光速として、$${\epsilon_0\mu_0 = \frac{1}{c^2}}$$が成り立つことを用いると、
$${\left(\textbf{\textit{E}}\cdot\textbf{\textit{K}}\right)\textbf{\textit{K}} - \left|\textbf{\textit{K}}\right|^2\textbf{\textit{E}}+\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\epsilon\textbf{\textit{E}} = 0…(10)}$$
が得られる。これが固有方程式である。

ファラデー効果の計算の下準備

$${{\textbf{\textit{E}}} = {\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) …(8) }$$という形をした$${{\textbf{\textit{E}}}}$$と、ある定数ベクトル$${{\textbf{\textit{K}}}}$$が
$${\left(\textbf{\textit{E}}\cdot\textbf{\textit{K}}\right)\textbf{\textit{K}} - \left|\textbf{\textit{K}}\right|^2\textbf{\textit{E}}+\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\epsilon\textbf{\textit{E}} = 0}$$という関係を満たしているのであった。ここで、$${{\textbf{\textit{K}}}}$$を
$${{\textbf{\textit{K}}} = \frac{\omega}{c}{\textbf{\textit{N}}}}$$
と定義する。大きな変更はないが、係数が$${\omega}$$がついていることで
$${{\textbf{\textit{E}}} = {\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) =  {\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp\left(-i\omega \left(t - \frac{{\textbf{\textit{N}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}}{c}\right)\right)…(8)' }$$
と書くことができる。あんまり変わった気がしないが、今後は$${{\textbf{\textit{K}}}}$$ではなく$${{\textbf{\textit{N}}}}$$を用いて式変形を進めていこう。すると、固有方程式は

$$
\begin{array}{cc}
\left(\textbf{\textit{E}}\cdot\textbf{\textit{K}}\right)\textbf{\textit{K}} - \left|\textbf{\textit{K}}\right|^2\textbf{\textit{E}}+\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\epsilon\textbf{\textit{E}} &=& 0 …(10)\\
\left(\textbf{\textit{E}}\cdot\frac{\omega}{c}{\textbf{\textit{N}}}\right)\frac{\omega}{c}{\textbf{\textit{N}}} - \left|\frac{\omega}{c}{\textbf{\textit{N}}}\right|^2\textbf{\textit{E}}+\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\epsilon\textbf{\textit{E}} &=& 0 \\
\left(\textbf{\textit{E}}\cdot{\textbf{\textit{N}}}\right){\textbf{\textit{N}}} - \left|{\textbf{\textit{N}}}\right|^2\textbf{\textit{E}}+\epsilon\textbf{\textit{E}} = 0 \\
\left|{\textbf{\textit{N}}}\right|^2\textbf{\textit{E}} - \left(\textbf{\textit{E}}\cdot{\textbf{\textit{N}}}\right){\textbf{\textit{N}}} -\epsilon\textbf{\textit{E}} &=& 0 …(10)'
\end{array}
$$

また、これまで定数として使ってこなかった、$${3\times3}$$の行列である$${\epsilon}$$を

$$
\left[ %2行目のはじめ
\begin{matrix}
\epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz}\\
\epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz}\\\
\epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz}\
\end{matrix}\right] …(11)
$$

として定義する。

ファラデー効果（ファラデー配置）

固有方程式
$${\left|{\textbf{\textit{N}}}\right|^2\textbf{\textit{E}} - \left(\textbf{\textit{E}}\cdot{\textbf{\textit{N}}}\right){\textbf{\textit{N}}} -\epsilon\textbf{\textit{E}} = 0 …(10)'}$$
を満たすような固有値$${\textbf{\textit{N}}}$$と固有関数$${{\textbf{\textit{E}}} = {\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) =  {\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp\left(-i\omega \left(t - \frac{{\textbf{\textit{N}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}}{c}\right)\right)…(8)' }$$の組を求めよう。

$${\left|{\textbf{\textit{N}}}\right|^2\textbf{\textit{E}} - \left(\textbf{\textit{E}}\cdot{\textbf{\textit{N}}}\right){\textbf{\textit{N}}} -\epsilon\textbf{\textit{E}} = 0 …(10)'}$$