あきん、光と磁気1、マクスウェルの方程式と固有値問題

現代人の物理1シリーズ「光と磁気　改訂版」
著者：佐藤勝昭
発行者：朝倉邦造
発行所：株式会社朝倉書店
主に、p.30-31の内容をまとめる

マクスウェル方程式は以下の4つである。

$$
rot\textbf{\textit{H}} = \textbf{\textit{J}}+ \frac{∂ \textbf{\textit{D}}}{∂t} …(1)\\
rot\textbf{\textit{E}} = -\frac{∂\textbf{\textit{B}}}{∂t} …(2)\\
div\textbf{\textit{B}} = 0 …(3) \\
div\textbf{\textit{D}} = \rho …(4)
$$

今回使うのは上式のうち(1)と(2)である。

$$
\textbf{\textit{B}} = \mu_0 \textbf{\textit{H}} …(5) \\
\textbf{\textit{D}} = \epsilon \epsilon_0 \textbf{\textit{E}} …(6) \\
\textbf{\textit{J}} = 0 …(7)
$$

(5), (6), (7)式を用いて(1)式と(2)式を書き直す。なお、(5)式は真空中での磁束密度$${\textbf{\textit{B}}}$$と磁界$${\textbf{\textit{H}}}$$の関係式で、$${\mu_0}$$は真空の透磁率である。(6)式は物質中での電束密度$${\textbf{\textit{D}}}$$と電界$${\textbf{\textit{E}}}$$の関係式で、$${\epsilon_0}$$は真空の誘電率、$${\epsilon}$$は物質の誘電率テンソル($${3\times3}$$の2階テンソル)。(5)式が真空中のものとしているのは、光の振動数くらいの高周波数では透磁率を$${\mu\cdot\mu_0}$$とした時の比透磁率$${\mu}$$はおよそ$${\mu=1}$$と見做せるからである。また、(7)式は簡単のため$${\textbf{\textit{J}} = 0}$$としている。

(5), (6), (7)式を用いると、(1), (2)式はそれぞれ以下のようになる

$$
rot\textbf{\textit{H}} = \epsilon\epsilon_0\frac{∂\textbf{\textit{E}}}{∂t} …(1)'\\
rot\textbf{\textit{E}} = -\mu_0\frac{∂\textbf{\textit{H}}}{∂t} …(2)'
$$

(1)', (2)'式は$${\textbf{\textit{E}}}$$と$${\textbf{\textit{H}}}$$の連立微分方程式である。その解の形として、以下のものを想定する。

$$
{\textbf{\textit{E}}} = {\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) …(8)\\
{\textbf{\textit{H}}} = {\textbf{\textit{H}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})…(9)
$$

(8), (9)式は、それぞれ電場、磁場を表す平面波である。$${{\textbf{\textit{E}}}_0}$$、$${{\textbf{\textit{B}}}_0}$$はそれぞれ定数ベクトルである。この形の平面波については、例えばEMAN(https://eman-physics.net/quantum/wave3d.html )などを参照されたい。
さて、この(8), (9)式を(1)', (2)'式に代入していく。この式変形はベクトル解析を得意とする人には簡単なのだろうが、僕は簡単にできないので地道に変形していく。

まず(1)'式に代入する。なお、$${rot{\textbf{\textit{A}}}=\nabla\times{\textbf{\textit{A}}}}$$であり、3次元ベクトルなお、$${{\textbf{\textit{A}}}}$$と3次元空間の2回微分演算子$${\nabla}$$の外積である。

$$
\begin{array}{cc}
rot\textbf{\textit{H}} &=& \epsilon\epsilon_0\frac{∂\textbf{\textit{E}}}{∂t} \\ %1行目
\left[ %2行目のはじめ
\begin{matrix}
\frac{∂}{∂x} \\
\frac{∂}{∂y}\\
\frac{∂}{∂z}
\end{matrix}\right]
\times
\left[
\begin{matrix}
{\textbf{\textit{H}}}_{0x}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) \\
{\textbf{\textit{H}}}_{0y}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})\\
{\textbf{\textit{H}}}_{0z}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
\end{matrix}\right]
&=&  \epsilon\epsilon_0\frac{∂}{∂t}\left({\textbf{\textit{E}}}_0\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})\right) \\ %2行目のおわり
\left[ %3行目のはじめ
\begin{matrix}
\frac{∂}{∂y} {\textbf{\textit{H}}}_{0z}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
-\frac{∂}{∂z} {\textbf{\textit{H}}}_{0y}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) \\ %3行目、左辺、1成分
\frac{∂}{∂z} {\textbf{\textit{H}}}_{0x}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
-\frac{∂}{∂x} {\textbf{\textit{H}}}_{0z}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) \\ %3行目、左辺、2成分
\frac{∂}{∂x} {\textbf{\textit{H}}}_{0y}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
-\frac{∂}{∂y} {\textbf{\textit{H}}}_{0x}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) %3行目、左辺、3成分
\end{matrix}\right]
&=&  \epsilon\epsilon_0\frac{∂}{∂t} %3行目、右辺
\left[
\begin{matrix}
{\textbf{\textit{E}}}_{0x}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) \\
{\textbf{\textit{E}}}_{0y}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})\\
{\textbf{\textit{E}}}_{0z}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
\end{matrix}\right] \\ %3行目のおわり
\left[ %4行目のはじめ
\begin{matrix}
i{\textbf{\textit{K}}}_{y}{\textbf{\textit{H}}}_{0z}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
-i{\textbf{\textit{K}}}_{z} {\textbf{\textit{H}}}_{0y}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) \\ %4行目、左辺、1成分
i{\textbf{\textit{K}}}_{z} {\textbf{\textit{H}}}_{0x}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
-i{\textbf{\textit{K}}}_{x} {\textbf{\textit{H}}}_{0z}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) \\ %4行目、左辺、2成分
i{\textbf{\textit{K}}}_{x}{\textbf{\textit{H}}}_{0y}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
-i{\textbf{\textit{K}}}_{y} {\textbf{\textit{H}}}_{0x}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) %4行目、左辺、3成分
\end{matrix}\right]
&=&  \epsilon\epsilon_0\left(-i\omega \right) %4行目、右辺
\left[
\begin{matrix}
{\textbf{\textit{E}}}_{0x}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}}) \\
{\textbf{\textit{E}}}_{0y}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})\\
{\textbf{\textit{E}}}_{0z}\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
\end{matrix}\right] \\ %4行目のおわり
\left[ %5行目のはじめ
\begin{matrix}
i{\textbf{\textit{K}}}_{y}{\textbf{\textit{H}}}_{0z}
-i{\textbf{\textit{K}}}_{z} {\textbf{\textit{H}}}_{0y} \\ %5行目、左辺、1成分
i{\textbf{\textit{K}}}_{z} {\textbf{\textit{H}}}_{0x}
-i{\textbf{\textit{K}}}_{x} {\textbf{\textit{H}}}_{0z} \\ %5行目、左辺、2成分
i{\textbf{\textit{K}}}_{x}{\textbf{\textit{H}}}_{0y}
-i{\textbf{\textit{K}}}_{y} {\textbf{\textit{H}}}_{0x}%5行目、左辺、3成分
\end{matrix}\right]\cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})
&=&  \epsilon\epsilon_0\left(-i\omega \right) %5行目、右辺
\left[
\begin{matrix}
{\textbf{\textit{E}}}_{0x} \\
{\textbf{\textit{E}}}_{0y} \\
{\textbf{\textit{E}}}_{0z}
\end{matrix}\right] \cdot exp(-i\omega t)\cdot exp(i{\textbf{\textit{K}}}\cdot {\textbf{\textit{r}}})\\ %5行目のおわり
i\left[ %6行目のはじめ
\begin{matrix}
{\textbf{\textit{K}}}_{y}{\textbf{\textit{H}}}_{z}
-{\textbf{\textit{K}}}_{z} {\textbf{\textit{H}}}_{y} \\ %6行目、左辺、1成分
{\textbf{\textit{K}}}_{z} {\textbf{\textit{H}}}_{x}
-{\textbf{\textit{K}}}_{x} {\textbf{\textit{H}}}_{z} \\ %6行目、左辺、2成分
{\textbf{\textit{K}}}_{x}{\textbf{\textit{H}}}_{y}
-{\textbf{\textit{K}}}_{y} {\textbf{\textit{H}}}_{x}%6行目、左辺、3成分
\end{matrix}\right]
&=&  \epsilon\epsilon_0\left(-i\omega \right) %6行目、右辺
\left[
\begin{matrix}
{\textbf{\textit{E}}}_{x} \\
{\textbf{\textit{E}}}_{y} \\
{\textbf{\textit{E}}}_{z}
\end{matrix}\right] \\ %6行目のおわり
i\textbf{\textit{K}}\times\textbf{\textit{H}} %7行目、左辺
&=&  \epsilon\epsilon_0\left(-i\omega \right)\textbf{\textit{E}} %7行目、右辺
\\ %7行目のおわり
\textbf{\textit{K}}\times\textbf{\textit{H}} %8行目、左辺
&=&  -\epsilon\epsilon_0\omega \textbf{\textit{E}} %8行目、右辺
\\ %8行目のおわり
\end{array} \\
\textbf{\textit{K}}\times\textbf{\textit{H}} %8行目、左辺
=  -\epsilon\epsilon_0\omega \textbf{\textit{E}} …(1)''%8行目、右辺
$$

$${rot\textbf{\textit{H}} = \epsilon\epsilon_0\frac{∂\textbf{\textit{E}}}{∂t}…(1)'}$$
(1)'からは
$${\textbf{\textit{K}}\times\textbf{\textit{H}} =  -\epsilon\epsilon_0\omega \textbf{\textit{E}} …(1)''}$$
が得られた。同様にして、
$${rot\textbf{\textit{E}} = -\mu_0\frac{∂\textbf{\textit{H}}}{∂t} …(2)'}$$
からは
$${\textbf{\textit{K}}\times\textbf{\textit{E}} =  -\omega \mu_0 \textbf{\textit{H}} …(2)''}$$

(1)''式と(2)''式はともに$${\textbf{\textit{E}}}$$と$${\textbf{\textit{H}}}$$が登場するので、この2式から$${\textbf{\textit{H}}}$$を削除する。$${c}$$を光速として、$${\epsilon_0\mu_0 = \frac{1}{c^2}}$$が成り立つことを用いると、

$$
\left(\textbf{\textit{E}}\cdot\textbf{\textit{K}}\right)\textbf{\textit{K}} - \left|\textbf{\textit{K}}\right|^2\textbf{\textit{E}}+\left(\frac{\omega}{c}\right)^2\epsilon\textbf{\textit{E}} = 0 …(10)
$$

が得られる。これが固有方程式であり、マクスウェル方程式(1)と(2)を満たすような$${\textbf{\textit{K}}}$$、$${\textbf{\textit{E}}}$$はこの固有方程式を満たす必要がある。実際に問題を解く場合にはこの固有方程式になんらかの条件を加えて固有値$${\textbf{\textit{K}}}$$と固有関数$${\textbf{\textit{E}}}$$の組を求める。

​メモ 
\mathbb{A}とすると$${\mathbb{A}}$$になる。𝔸(1D538)
\mathbf{A}とすると$${\mathbf{A}}$$になる。𝐀(1D400)
\textbf{\textit{A}}とすると$${\textbf{\textit{A}}}$$になる。𝑨(1D468)