三角関数の逆関数 vol.2
$${\displaystyle -1 \le x \le 1}$$のとき、$${\displaystyle \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}}$$を求めよ。
卒業生からの質問です。
逆三角関数の計算です。
この記事は vol.2 です。
この時期、逆三角関数について卒業生からよく聞かれます。
私的には４月の風物詩みたいな感じです。
逆三角関数の質問か…。
もう１年経ったのか…。
皆、頑張ってるのかな…。
特にオチも思いつかないな…。
まあ強いて言えば最後の…。
かな…。
さて…
逆三角関数という名前とか見た目が難しそうでびびります。
でも当たり前の話ですが、逆三角関数は三角関数の逆関数です。
逆三角関数で出題されても、三角関数の関係に戻して解くと分かりやすいです。
分かりやすいこともあります。
$${\displaystyle \sin^{-1} x}$$は$${\displaystyle \sin \theta}$$ の逆関数です。
$${\displaystyle \arcsin x}$$ と表記することもあります。
前回は $${\displaystyle \arcsin x}$$ で書いたので、こちらは $${\displaystyle \sin^{-1} x}$$ を使います。
ちなみに$${\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}}$$は$${\displaystyle ({\sin \theta})^{-1}}$$と表記します。
$${\displaystyle \sin^{-1} x}$$と$${\displaystyle \sin \theta}$$の関係を式で書くとこんな感じです。
今回は$${\displaystyle \theta}$$の範囲が関わってくるので、ここにも書き加えておきました。
$$
\begin{align*}
\sin \theta &= x\\
\sin^{-1} x &= \theta\\
-1 &\le x \le 1\\
-\frac{\pi}{2} &\le \theta \le \frac{\pi}{2}\\
\end{align*}
$$
たとえば$${\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}}$$について考えると
$$
\begin{align*}
\sin \frac{\pi}{6} &= \frac{1}{2}\\
\sin^{-1} \frac{1}{2} &= \frac{\pi}{6}\\
\end{align*}
$$
$${\displaystyle \cos^{-1} x}$$と$${\displaystyle \cos \theta}$$、$${\displaystyle \tan^{-1} x}$$と$${\displaystyle \tan \theta}$$も同様です。
$$
\begin{align*}
\cos \theta &= x\\
\cos^{-1} x &= \theta\\
-1 &\le x \le 1\\
0 &\le \theta \le \pi\\\\
\tan \theta &= x\\
\tan^{-1} x &= \theta\\
-\frac{\pi}{2} &< \theta < \frac{\pi}{2}\\
\end{align*}
$$
三角関数は同じ値が繰り返し表れる周期関数なので、$${\displaystyle \theta}$$の範囲を制限しないと逆関数が一意的に求められませせん。
三角関数と逆三角関数が混在する問題で定義域、値域という言い方は混乱しそうなので、$${\displaystyle \theta}$$の範囲、$${\displaystyle x}$$の範囲と表現しました。
それでは問題の式です。
$${\displaystyle \sin^{-1} x = \theta}$$とします。
つまり$${\displaystyle x = \sin \theta}$$です。
$$
\begin{align*}
\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} &= \sin^{-1} \sqrt{1-\sin^2 \theta}\\
&= \sin^{-1} \sqrt{\cos^2 \theta}\\
&= \sin^{-1} |{\cos \theta}|\\
\end{align*}
$$
ところで、$${\displaystyle \sin^{-1} x = \theta}$$の$${\displaystyle \theta}$$の範囲は$${\displaystyle -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}}$$ ですが、$${\displaystyle \cos^{-1} x}$$の$${\displaystyle \theta}$$の範囲は$${\displaystyle 0 \le \theta \le {\pi}}$$です。
だから$${\displaystyle \sin^{-1} x}$$ と$${\displaystyle \cos^{-1} x}$$で共通の$${\displaystyle \theta}$$の範囲は$${\displaystyle 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}}$$ です。
このとき、$${\displaystyle 0 \le x \le 1}$$です。
$${\displaystyle 0 \le x \le 1}$$のとき、
$$
\begin{align*}
\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} &= \sin^{-1} |{\cos \theta}|\\
&= \sin^{-1} ({\cos \theta})\\
&= \cos^{-1} ({\sin \theta})\\
&= \cos^{-1} x\\
\end{align*}
$$
$${\displaystyle -1 \le x< 0}$$のとき、
$$
\begin{align*}
\sin^{-1} \sqrt{1-x^2} &= \sin^{-1} |{\cos \theta}|\\
&= \sin^{-1} ({\cos \theta})\\
&= \cos^{-1} ({\sin \theta})\\
&= \pi - \cos^{-1} x\\
\end{align*}
$$
最後の１行は、$${\displaystyle \sin^{-1} x}$$ と$${\displaystyle \cos^{-1} x}$$で共通の$${\displaystyle \theta}$$の範囲に合わせた調整です。
たぶん間違ってはいないと思いますが、歴代最強に怪しいです。