三角関数の逆関数 vol.1

次の等式を満たす$${\displaystyle x}$$を求めなさい。すべて鋭角です。

$$
\begin{align*}
\cos^{-1} x &=\sin^{-1} \frac{1}{3}+\sin^{-1} \frac{7}{9}
\end{align*}
$$

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卒業生からの質問です。

三角関数の逆関数による方程式です。

$${\displaystyle \cos^{-1} x}$$は$${\displaystyle \cos \alpha}$$ の逆関数です。
$${\displaystyle \arccos x}$$ と表記することもあります。
私的には$${\displaystyle \arccos x}$$ の方がカッコいいです。
だから、ここではこちらを使います。
ちなみに$${\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha}}$$は$${\displaystyle ({\cos \alpha})^{-1}}$$と表記します。

$${\displaystyle \arccos x}$$と$${\displaystyle \cos \alpha}$$の関係を式で書くとこんな感じです。

$$
\begin{align*}
\cos \alpha &= x\\
\arccos x &= \alpha
\end{align*}
$$

たとえば$${\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}}$$について考えると

$$
\begin{align*}
\cos \frac{\pi}{6} &= \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{\pi}{6}\\
\end{align*}
$$

めんどくさいので一般角とかは忘れててください。

$${\displaystyle \arcsin x}$$と$${\displaystyle \sin \alpha}$$、$${\displaystyle \arctan x}$$と$${\displaystyle \tan \alpha}$$も同様です。

$$
\begin{align*}
\sin \alpha &= x\\
\arcsin x &= \alpha\\\\
\tan \alpha &= x\\
\arctan x &= \alpha
\end{align*}
$$

それでは問題の方程式です。

$$
\begin{align*}
\arccos x=\arcsin \frac{1}{3}+\arcsin \frac{7}{9}\\
\end{align*}
$$

$${\displaystyle \arcsin x}$$と$${\displaystyle \sin \alpha}$$の関係から、以下のように置きます。

$$
\begin{align*}
\arcsin \frac{1}{3} &=\alpha\\
\sin \alpha &= \frac{1}{3}\\
\\
\arcsin \frac{7}{9} &=\beta\\
\sin \beta &= \frac{7}{9}\\
\end{align*}
$$

これを問題の方程式に戻すと、

$$
\begin{align*}
\arccos x=\alpha+\beta\\
\end{align*}
$$

$${\displaystyle \arccos x}$$は、$${\displaystyle \cos\theta=x}$$となるような角$${\displaystyle \theta}$$ですから、$${\displaystyle \theta=\alpha+\beta}$$ということになります。

$${\displaystyle \cos\theta}$$の加法定理を使うので、$${\displaystyle \cos\alpha}$$と$${\displaystyle \cos\beta}$$を求めておきます。

$$
\begin{align*}
\cos\alpha&=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\\
&=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}\\
&=\frac{2\sqrt{2}}{3}\\
\\
\cos\beta&=\sqrt{1-\sin^2\beta}\\
&=\sqrt{1-\left(\frac{7}{9}\right)^2}\\
&=\frac{4\sqrt{2}}{9}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
x&=\cos\theta\\
&=\cos(\alpha+\beta)\\
&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\
&=\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{4\sqrt{2}}{9}-\frac{1}{3}\times\frac{7}{9}\\
&=\frac{16}{27}-\frac{7}{27}\\
&=\frac{1}{3}
\end{align*}
$$

以上です。