因数分解（高校）

先ほど、生徒から質問がありました。

$${x^4+x^2+1}$$の因数分解です。

この式には $${x^4}$$と$${x^2}$$の項しかありません。
さらに定数項の1は$${1^2}$$です。
この2点を満たせば使える方法です。

$${x^4+x^2+1}$$ は因数分解できませんが、$${x^4+2x^2+1}$$ は因数分解できます。

そこで $${x^4+x^2+1}$$ に $${x^2}$$ を加えて $${x^4+2x^2+1}$$ として因数分解します。
もちろん、$${x^2}$$ を追加した分、$${x^2}$$ を引いておかなければいけません。

それが以下の式です。

$$
\begin{aligned}
x^4+x^2+1&=x^4+x^2+1+x^2-x^2\\
&=x^4+2x^2+1-x^2\\
&=(x^2+1)^2-x^2\\
&=(x^2+1-x)(x^2+1+x)\\
&=(x^2-x+1)(x^2+x+1)\\
\end{aligned}
$$

以上です。