MAKE10を完成させたい①

ナンバープレートの数字で10を作りたい

子どもの頃、「ナンバープレートの数字を足して20になる車を3台見つけるといいことがある」と母親に吹き込まれ、親が車を運転しているときなどは躍起になって20になるナンバーの車を探していました。
その経験からか、今でも車を見かけるとナンバープレートの数を足したり掛けたりする習慣がついてしまっていました。

ところで、世の中には「MAKE10（メイクテン）」なんて遊びが存在しています。わざわざ説明するまでもないと思いますが、一般的には「4つの数字から四則計算のみで10を作る」みたいな数遊びです。
そんな遊びを知ってか知らずか、数字を足すだけの作業に飽きた少年期の私は次にナンバープレートの数字で10を作ることをはじめたのですが、たぶんここまではやっていた/今もやっているという人も少なくないと思います。

一般的なMAKE10の解

4つの数字でのMAKE10の解法一覧を乗せたページはいくらでもあるので（こことか）あえて書きませんが、例をいくつか。

• 4，6，6，8　→　((4×6)-6)-8=10 など

• 1，1，6，7　→　7+(6÷(1+1))=10 の1通り

• 9，9，9，9　→　(9+(9×9))÷9=10 の1通り

この遊び、本来は「＋、ｰ、×、÷の記号だけで10を作る」というルールなのですが、括弧使ってる（使っちゃだめのルールもあるらしいけど）のってずるくないですか？
括弧を使わずに分数で表すこともできますが、そうすると分数を表す横線（括線というらしい）が出てきます。
ということはつまり！「数字を新しく足す」ということさえしなければ、記号などを好き勝手に使ってもよいのだという独自解釈ができる、というかしてしまうことにしました。

というのも、四則計算だけで10を作れないパターンが結構あるわけです。0～9の4つの数の組み合わせは、10種類の数字から重複を許して4種類を選ぶ重複組み合わせなので10H4=715通りです。
このうち、10を作れない組み合わせは実に163通りあります。
（ちなみにナンバープレートの場合は上の桁の0は「・」になってしまうため、正確には9H3＝165, 9H2=45, 9H1=9を足し、0が4つの1組を抜いた933通りです。0があれば10にできる、という組もあるので10を作れないパターンはさらに増えます。）
つまり、ナンバープレートで10を作る遊びをしていても結構な確率で10を作れないパターンを引いてしまうので、遊びとしてつまらなくなるタイミングがどうしても来てしまうわけです。

そこで先ほどの解釈、数字を足す以外ならなんでもOKルールを採用することで、私の中でこのゲームで遊べる寿命を延ばすことに成功しました。
色々と技を覚えることができたので、これらを使ってこのMAKE10の不可能組み合わせの穴埋めをしていきたいと思います。

不可能組み合わせの一覧

以下、4つの数字でのMAKE10での不可能組み合わせ全165通りです。

0000 0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009 0011 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0022 0023 0024 0026 0027 0029 0033 0034 0035 0036 0038 0039 0044 0045 0047 0048 0049 0056 0057 0058 0059 0066 0067 0068 0069 0077 0078 0079 0088 0089 0099 0111 0112 0113 0114 0116 0117 0122 0123 0134 0144 0148 0157 0158 0166 0167 0168 0177 0178 0188 0222 0233 0236 0269 0277 0279 0299 0333 0335 0336 0338 0344 0345 0348 0359 0366 0369 0388 0389 0399 0444 0445 0447 0448 0457 0478 0479 0489 0499 0566 0567 0577 0588 0589 0599 0666 0667 0668 0677 0678 0689 0699 0777 0778 0788 0799 0888 1111 1112 1113 1122 1159 1169 1177 1178 1179 1188 1399 1444 1499 1666 1667 1677 1699 1777 2257 3444 3669 3779 3999 4444 4459 4477 4558 4899 4999 5668 5788 5799 5899 6666 6667 6677 6777 6778 6888 6899 6999 7777 7788 7789 7799 7888 7999 8899

ナンバープレートでのMAKE10では0000が消え、0が上の桁に入る組が入るため、以下の組も不可能組み合わせです（手計算なので漏れがあるかも）。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 22 23 24 26 27 29 33 34 35 36 38 39 44 45 47 48 49 56 57 58 59 66 67 68 69 77 78 79 88 89 99 111 112 113 114 116 117 122 123 134 139 144 148 149 157 158 159 166 167 168 169 177 178 179 188 189 199 222 225 228 233 236 237 246 255 256 258 259 269 277 278 279 288 299 333 335 336 337 338 344 345 346 347 348 355 357 359 366 369 377 378 388 389 399 444 445 446 447 448 455 457 466 467 469 478 479 489 499  555 556 558 559 566 567 577 588 589 599 666 667 668 677 678 689 699 777 778 788 799 888

穴埋め戦略

数学は高校レベル+ナンバープレートMAKE10のために少しかじった数論というレベルなので、あまり難しい概念は使用せずに10を作成することを目指しています。
なお、ガウス記号のような丸め処理は美しくないため今回は使用しないレギュレーションで行こうと思います。
円周率や自然対数も見た目上は数字ではないのですが、これを可とするとルールが崩壊するため定数も一部を除き（後述）今回は使用しないこととします。

今回の穴埋め作業の戦略ですが、非常に単純です。
流れとしては以下の通りです。

1. なんらかの方法で与えられた数字を別の数字に変換する

2. 置き換えた数字で１０になる組み合わせを探す。

この「なんらかの方法」というのが肝要で、ここのバリエーションが乏しいと早い段階で詰んでしまいます。
以下、現段階で思いついている変換方法を列記します。

■根号
√4=2, √9=3の変換は頻出。

■べき乗
2^3=9, 2^4=16 あたりが主な使い道です。

■階乗
単体では、0!=1, 3!=6, 4!=24, 5!=120あたりまでが現実的な使い道です。
複数使いだと、8!÷7!=8などで隣接した数字の小さいほうを消せるのがありがたいです。

■多重階乗
4!!=8, 5!!=15, 6!!=48あたりの二重階乗、5!!!=10, 6!!!=18, 7!!!=28, 8!!!=80あたりの三重階乗、6!!!!=12, 7!!!!=28, 8!!!!=32あたりの四重階乗などが候補に挙がるが、あまり美しくはないので手詰まりになったら使うくらいのモチベーションです。

■テトレーション
大きくなりすぎるため、2^^3=16, 3^^2=27までが使用限界。

■素数階乗
4#=3#=6, 6#=5#=30あたりが実用的。

■組み合わせ、重複組み合わせ
5C3=3H3=4H2=10, 6C2=15, 6C3=4H3=20あたり。
数字を2つ消費するため、あまり数字を置きくするメリットはない。

■対数
log8/log2=3が主な使い道。

■ベルヌーイ数
数論における係数なので、円周率や自然対数はだめなのにこれはOKなの？となるが、まあ数字を指定しないといけないのでよしとしています。
B1=-1/2, B2=1/6, B4=B8=-1/30あたりの逆数を取ったり、3以上の奇数mでBm=0となることを利用して奇数を無視したりするのが主な用途。

穴埋め作業①：1桁数字→1桁数字変換

上記の手法を用いて１つの数字を別の1桁の数字に変換するルートを以下にまとめました。

• 3以上の奇数→0（ベルヌーイ数）

• 0→1（階乗）

• 1→2（ベルヌーイ数の逆数の絶対値）

• 4→2（べき根）

• 3→6（階乗）

• 4→6（素数階乗）

• 4→8（二重階乗）

• 9→3（べき根）

これを用いて、上記不可能組み合わせ一覧の数字を変換したときに一覧に無い組み合わせになるものは10が作れるということになります。
よって、この変換で10が作れる組み合わせを除いた一覧を以下に記載します。

6666
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 16 17 22 23 26 27 29 33 36 47 56 66 67 68 69 77 88 225 228 288 666 668 888

穴埋め作業②：1桁数字2つ→1桁数字1つ変換

同じようなやり方で、2つの数字を別の1桁の数字に変換するルートを以下にまとめました。

• 隣接する2つの数字→大きい方の数字（階乗÷階乗）

• 同じ数字→元の数字（積のべき根）

• 2，3→9（階乗）

• 2，8→3（対数）

この変換を用いても残る数字は以下の通りです。

6666
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 16 17 22 23 26 27 29 33 36 47 56 66 67 68 69 77 88 666

穴埋め作業③：個別対応

かなり数が減ったので、あとはそれぞれ対応します。
まず、5は三重階乗で単体で10になるため、5に帰着できる数字を除きます。

1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 22 26 36 56 66 67 68 69 88

これで3つ以上の組み合わせは網羅しました。
あとは個別に対応します。

• 2，6 → 6!!!!-2；奇数→0→1→2の変換で5，6と6，7もクリア

• 3，6 → 6#÷3

• 6，6 → 6#÷6=5→5!!!

• 6，8 → 6!!!-8

• 6，9 → 6#÷√9

• 8，8 → 8!!!÷8

というわけで残りは以下の数字です。

1 2 3 4 6 7 8 9 11 12 22

1桁の数字、1と2の組み合わせは仕方ないです。
逆にこれがクリアできるとゲームが壊れてしまう。

まとめ

5を除く1桁の数字、11，12，22以外の2桁以上の数字については10を作ることができました。
ただ、今回はベルヌーイ数頼りの面があまりにも多いので、次はベルヌーイ縛りで穴埋めをします。