「同じものを含む順列」をわかりやすく理解してみたらこうなった

こんにちは！今日は、順列の問題についてお話ししたいと思います。

順列とは、n個のものからr個を選んで並べる方法の数のことですが、n個の中に同じものがある場合はどうなるでしょうか？

順列の公式では、n個の中からr個を選び並べる場合、n!/(n-r)!通りとなります。

例えば、(1,4,4)のように、3つの中の2つが同じものの順列は、3!/2!=3通りになります。3!=3*2*1、2!＝2*1です。

3個の中から3個を選んで並べる場合、公式にあてはめると、3!/(3-3)!=3!/0!=3!となり、3!=3*2*1=6通りとなります。
→3!/0!

順列はn個の中からm個を「選ぶand並べる」となり、nPmと表し、公式は,
nPm=n!/(n-m)!となります。

ここで、n!だけで表される場合、n個の中から、n個を選びand並べる、となります。n!/(n-n)!=n!/0!=n!/1=n!ですね。

2!なら、2個の中から2個を選び並べるということになります。じゃあ、0!は？となれば、0個の中から0個を選び並べるとなります。0個なのだから、選ぶも並べるもないよね、となりますが、実は、選ぶも並べるも無いという選択肢という1通りが発生していることになるんですね！なので、選ばないという1通りとなり、0!=1となるんですね。

同じ１をつくるものとして、1!=1があります。0!=1も1!=1も同じ1を作りますが、1!=1は1個の中から1個を選び並べるので、1通りとなります。

・選ばないという1通り→0!=1
・1個の中から1個を選び並べる→1!=1

同じ１ですが、理由が違うんですね。

ところで、

3個の中から異なる2個を選んで並べる場合、公式にあてはめると、3!/(3-2)!=3!/1!=6通りとなります。
→3!/1!

では、(1,4,4)のように、同じものを含む2個がある場合、答は3!/2!なのですが、これは何を意味しているのでしょうか？

3!/2!で考えてみると、3つの中から、(3-n)!を分母に持って来た時、3!/2!になるようなnは、１ですね

3P1=3!/(3-1)!=3!/2!=(3*2*1)/(2*1)=3

これは、3個の中から1個だけを選び並べるという順列3!/(3-1)!の事だと言えます。

3つのうち、2個が同じ場合の条件で、順列を考える、何通りの並べ方があるか？と考える場合、3つの中から1個を選び並べるという考え方ではなく、こうも考えることはできます。

まず、同じ２つを異なる2つと考えて、結果、異なる3つの中から、３つを選び並べるという順列を考えた場合、3!/(3-3)!=3!=3*2*1=6通りとなります。
ここで、3*2*1の3は1個目を選ぶ場合の数3で、2は1個目が決まった後、残り2個のうち、1個を選ぶ場合の数2のことで、１は2個が決まった後、残り1個のうち1個を選ぶ場合の数１のことです。

この時、初めて2個が異なる→2個が同じと考えます。同じ2個の場合、順番が違っても分からないので、順番は関係ないとなります。そうなると、1個目は必ず、異なる(2,3,3)のうちの2を選ぶと考えます。答は、3個のうち1個を選ぶ3通りと同じ3通りですが、中身というか、根拠は、(2,3,3)のうち、異なる数2を（2,3,3)という3個の中から選ぶ場合、最初の1個目に2が出てくるのか、2個目に出てくるのか、3個目に出てくるのかはわかりませんので、3通りあるとなります。

今は、(2,3,3)ではなく、(2,3,4)など、すべての数が異なる3つの数を並べるという、同じ２つを異なる2つと考えて、異なる3つの中から、３つを選び並べるという順列を考えた場合、3!/(3-3)!=3!-3*2*1=6通りとなっています。
ここで、着目したいのは、3*2*1です。最初の3という数字を、
「(2,3,3)のうち、異なる数2を（2,3,3)という3個の中から選ぶ場合、最初の1個目に2が出てくるのか、2個目に出てくるのか、3個目に出てくるのかはわかりませんので、3通りあるとなります。」と考えて、そうすると、あとは同じ2個の数字なので、どう並んでもその違いは分からないとなります。つまり、最初の異なる1個の位置に付随する形で出てくるパターンだけをカウントすればいいというだけになります。なので、3*2*1における、2*1つまり、2個目の2通りと、3個目の1通りは、(2,3,3)の2個目の3と、3個目の3が出てくる場合の数だとすれば、これは不要ということになりますので、人為的に、分母に2＊3をもってきて、そうすると、（3*2*1)/(2*1)=3通りとなり、これは、異なる3個から1個を選び並べるという順列の公式3!/(3-1)!=3!/2!と同じとなります。最初から3個のうち、1個を選び並べるという解き方と、最初は異なる3個としておいて、あとから、同じ2個であるとシフトして、じゃあ、2個目と3個目の場合の数を消去するために、分母に2個目の場合の数2と、3個目の場合の数１を2*1としてつくれば、分子の3*2*1の2*1と相殺出来て、結局異なる1個を選び並べる場合の数である3通りだけが残るという別の解き方があるということですね。

ところで、

分母の2!について、(2,3,3)の3が2個あるから、3,3の2個についての何かと考えてしまいがちになります。

そして、3個の中から1個を選び並べると、公式にあてはめると自然言語はこうなりますが、残りの2個は同じだから、並んではいないことは分かる、でも「選ばれてもいないの？」と思いがちです。

同じものが混じる順列の場合、同じものは順列の公式からはずす？

(1,4,4,)とか(2,3,3)のように、「3個の中の2個が同じ条件の、3つの数を選び並べる」という場合、3つの数を選び並べると言いつつも、実は、「異なる1個の数を、3つの数の中から選び並べる場合の数」ということだったんですね。このとき、残りの同じ数については、異なる1個が選ばれand並べられしている時に、オフラインで発生はしているものの、同じ２つの並べ方については、オンラインではなかったということなんですね。発生はしていても、並び方までは問題にされない同じ数というところでしょうか。異なる1個が発生してる限り、オフラインで発生している同じ2つの数というところですね。じゃあ、発生はしている2つの同じ数なのだから、選びand並べるという順列において、並べるという部分は問題にされていないけれど、選ばれてはいるよね？となります。

m個が同じn個の順列は組み合わせでも解ける！？

選びはするけれど、その順番というか、並べ方は関係ないというのがありました、それは「組み合わせ」です。組み合わせの場合、選ぶだけで並べる順番は問題にはなりませんでした。なので、こういう風に考えると、(2,3,3)など同じ２つが混じる3つの数の順列は、組み合わせでも考えることができました。

(3,2,2)のように、3つのうち2つが同じ場合の並び方（順列）は、別の言い方で求めれば、３つのうち２つを選ぶ組み合わせとなります。

ここで、３つのうち2つを選び並べる順列の場合、3P2=3!/(3-2)!=(3*2*1)/1=6通りであり、３つのうち２つを選ぶ組み合わせの場合は、3C2=3!/2!(3-2)!=3通りです。2つの使った公式はこちらです。

・順列：n個の中からm個を選び並べる：nPm=n!/(n-m)!
・組み合わせ：n個の中からm個を選ぶ：nCm=n!/m!(n-m)!

３つのうち2個が同じ場合の、並べ方の場合の数は、順列を使っても場合の数を使っても求められるってことですね！

ただ、焦点は、順列の場合は、異なる1個に焦点をあてる、つまり、m=1とすることであり、組み合わせの場合は、同じ2個に焦点をあてる、つまり、m=2として3C2=3!/2!(3-2)!=(3*2*1)/(2*1)*1=3とするわけですね。

n個のうち、m個が同じn個の並べ方は、同じm個に焦点をあてるなら、組み合わせを、違う(n-m)個に焦点をあてるなら順列をとなるわけですね！

3個の中から、1個を選び並べるという順列では、残りの2個は発生はしているけれど、並び方は問題視されていないということですね。

でも発生はしているのに、並べ方は関係ないということについて、発生させちゃった以上、浮遊感があり、並べてしまいそうだなど、発生はしているのに順番を考慮しない2つの要素について、イメージしにくくなっていしまいませんか？私はイメージ出来ないってなってました。

原因は(2,3,3)だけで考えるからだと思いました。このままだと3つの中から1個だけを選び並べることについて、残りの2個は？と疑問になってしまいます。

左辺に(a,b,c…)を設ける

そこで、n個のうちm個が同じ、例えば(2,3,3)を選び並べるという順列について、左辺に(a,b,c)を設けることをおすすめします。そうすることで、「あてはめる」という新しい考え方ができます。

(a,b,c)=(2,3,3)において、重複していない値、ここでは右辺の中の1個だけを、左辺のa,b,cに当てはめて並べるという考え方です。

(a,b,c)=(2,3,3)において、右辺の重複していない1個を左辺のa,b,cに当てはめて、並べるとした場合、1個の位置がきまれば、2個の位置は流動的で、必然的に適当に決まってきて、それが重複していても何ら問題ないんだなと理解できます。

このように、順列はn個の中からr個を選び並べるとありますが、n個のうち、m個が同じ場合、左辺にn個と同じ数のa,b,cを置き、右辺ではn個を置き、考え方としては、n個の中から、n-m個を左辺のa,b,c・・・に当てはめ並べるという考え方をすれば、残りの同じm個は選ばれないのか？とか、並べないのか？という疑問について、n-m個の位置が決まれば、自動的にm個の位置が決まってくると可視化しやすくなるので、なるほどになった、理解が進んだという話でPた。