線型独立という考え方

ベクトル$${\bm{u}, \bm{v}}$$が線型独立であるとは、未知数$${\alpha, \beta}$$の方程式

$$
\alpha \bm{u} + \beta \bm{v} = \bm{0}
$$

の解が、$${\alpha = \beta = 0}$$しかないときを言います。

これを考えることで何か良いことがあるのか？というのが初めて見た人の印象だと思います。

線型独立というのを考えるモチベーションのひとつは、表現の一意性が成り立つことにあります。つまり、ベクトル$${\bm{x}}$$に対して、

$$
\bm{x}=\alpha _1 \bm{u} + \beta _1 \bm{v} = \alpha _2 \bm{u} + \beta _ 2 \bm{v}
$$

ならば、$${\alpha _ 1 = \alpha _2, \, \, \beta _1 =\beta _2}$$が成り立つということです。