コラッツ型の数列のシフト関数について

コラッツ型の数列

数列$${\{a_n\}}$$がコラッツ型の数列であるとは、$${a_n}$$が偶数のときに$${a_{n+1}=a_n/2}$$となり、$${a_{n}}$$が奇数のときに$${a_{n+1}=3a_n+1}$$となる数列のことをいいます。

数列$${\{a_n\}}$$がコラッツ型であれば初項の値に関係なく、ある自然数$${N}$$に対して$${a_{N}=1}$$となるだろういう予想があります。これはコラッツ予想とよばれていて、懸賞金がかかっています。

数学の未解決問題「コラッツ予想」に1億2000万円の懸賞金

数列$${\{a_n\}}$$に対して、関数$${f(x)}$$がこの数列のシフト関数であるとは

$$
f(a_n)=a_{n+1}
$$

を満たすことをいいます。

この記事では、コラッツ型の数列のシフト関数を明示します。

関数の明示

まずは次の関数が存在することを仮定しましょう。

$$
g(x)=
\begin{cases}
 1 & \text{if $x$ is odd,}\\ 
0 & \text{otherwise.}\\
\end{cases}
$$

このとき、

$$
f(x)=\left(\frac{5x}{2}+1 \right)g(x) + \frac{x}{2}
$$

は、コラッツ型の数列のシフト関数になります。

g(x)の例

関数$${g(x)}$$は例えば次のようにすれば得られます。

$$
g(x)=x - 2 \left[\frac{x}{2} \right]
$$

ここで$${[ x]}$$はガウス関数です。おそらく$${g(x)}$$を実現する式は、この他にも多くあるでしょう。

先ほどの式と合わせれば、

$$
f(x)=\frac{5}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - (5x+2)\left[ \frac{x}{2} \right]
$$

がコラッツ型の数列のシフト関数（のひとつ）であることがわかりました。

別の例

ところで、他にはどのような$${g(x)}$$があるのでしょうか。上で作った関数は不連続だったので、連続になるようなシフト関数はあるのでしょうか。

その答えはYESです。

$$
g(x)=\frac{1 - \cos (\pi x)}{2}
$$

とすれば、

$$
f(x)=\left( \frac{5}{2}x+1 \right ) \left( \frac{1-\cos(\pi x)}{2} \right)+\frac{x}{2}
$$

は連続な（もっというと滑らかな）シフト関数になります。