コラッツ数列の最大値とメルセンヌ数の最大値の比例関係

ボトムアップ方式でコラッツテーブルを生成できるだけでは、コラッツ予想を証明したことにならないと言う意見があるので、ここではその任意の数のコラッツ数列における最大値と、その任意の数の２進桁のメルセンヌ数の最大値に比例関係があるので、任意の最大値までコラッツテーブルを生成できることがコラッツ予想を証明していることを説明する。

メルセンヌ数１５まで

表１．コラッツテーブルにおける１５までの最大値

１５まで、２進数で４桁までの初期奇数をボトムアップ方式で生成するための、１５の”Even 3x+1”の最大値は１６０である。　これは任意の奇数の２進桁のメルセンヌ数の行の最大値までコラッツテーブルをジェネレートするとコラッツ数列を形成できることを意味する。

メルセンヌ数２５５まで

表２．コラッツテーブルにおける２５５までの最大値

２５５まで、２進数で８桁までの初期奇数をボトムアップで生成するための、２５５の”Even 3x+1”の最大値は１３,１２０である。　この中に２７のコラッツ数例の最大値９,２３２がある。　２７は２進数で５桁なのでメルセンヌ数で３１であるが、３１の行には２進数で８桁の１６１が含まれるので、メルセンヌ数２５５の行の最大値１３,１２０までコラッツテーブルをジェネレートすると、２７や３１がリンクする。

表3．１２７まで生成した場合の数値の抜け

これは、コラッツ数列２７ー４１の４１や３１ーー１６１の１６１など、２進数で５桁の任意の奇数をリンクする為の行が７桁の１２７では出揃わないからである。

メルセンヌ数131,071まで

表４．メルセンヌ数131,071の２進桁数１７までのコラッツ数列との関係

メルセンヌ数３１の行には２進数で８桁の１６１が含まれるように、コラッツ数列は２進木ではないので完全には一致しないが、メルセンヌ数の行の最大値と任意の数のコラッツ数列の最大値には比例関係がある。

図１．メルセンヌ数の行の最大値とコラッツ数列の最大値の比例関係

まとめ

メルセンヌ数の行の最大値とコラッツ数列の最大値に比例関係があることで、任意の初期奇数の桁数からコラッツテーブルを生成するための、最大値制限を掛けれることが解るので、１からボトムアップ方式ですべての奇数が一回づつしか現れないことが保証されているコラッツテーブルを生成できることが、コラッツ予想の証明になってることと考えられる。この関係は現在計算で確かめられてる２⁶⁸以上の数値でも同じである。

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