弱いABC予想の破れ？

はじめに

弱いABC予想とは、A+B=C かつ組(A,B,C)が互いに素な正の整数である場合、正の実数i>0かつC<rad(ABC)¹⁺ⁱ ではない組(A,B,C)が有限個しか存在しないことを予想する数学の問題である。本論は、Aが１でCがメルセンヌ数(2ⁿ-1) の２乗である組(A,B,C)が無限個に存在することを証明したい。

C/rad(C)>rad(AB)になる組(A,B,C)の例

A+B=CのA=1にすると、

C = B + 1．　　(1)

(式1)のB, Cは互いに素であるから、組(A,B,C)は互いに素である。
(式1)のCをメルセンヌ数(2ⁿ-1)の２乗根とすると、Bとの関係は、

(2ⁿ - 1)² = 2ⁿ⁺¹(2ⁿ⁻¹ - 1)² + 1．　　(2)

C/rad(C)>rad(AB)は(式2)からA=1を外すと、

C / rad(C) ≧ (2ⁿ - 1)＞2(2ⁿ⁻¹ - 1) ≧ rad(B)．　　(3)

C/rad(C)>rad(AB)で互いに素な組(A,B,C)は、無数に存在する。

C>rad(ABC)¹⁺ⁱになる組(A,B,C)の例

(式2)の内、累乗1+i＞1のC：rad(ABC)¹⁺ⁱ の比を以下のパターンで見てみる。

(2²⁽³ˆⁿ⁾ - 1)² = 2²⁽³ˆⁿ⁾⁺¹(2²⁽³ˆⁿ⁾⁻¹ - 1)² + 1.　　　(4)

例えば、n=0、n=4のABCトリプルは、
n=0：1 + 2³ = (3)²
：
n=4：

1
+
2¹⁶³x47x127x1289x178481x3188767x45076044553x14808607715315782481
=
(3⁵x7x19x73x163x2593x71119x87211x135433x262657x97685839x272010961)²

累乗（1+i）を1.00～1.05および1.23に変化させると、

Table1. rad(ABC)¹⁺ⁱ/Cの比

nの増加によりクオリティ(logC/log[rad(ABC)])が減り、累乗する正の実数iが大きいとrad(ABC)¹⁺ⁱ/Cが１を超え、互いに素な組(A,B,C)は有限個になるが、正の実数(i)を限りなく０に漸近させることも可能である。

そのため、有限と無限の境界を決めることができない。

したがってC>rad(ABC)¹⁺ⁱ の条件を満たす互いに素な組(A,B,C)は、計算限界が無ければ無数に存在することになるので、弱いABC予想は破れているのではないか？

Figure 1. 横軸が(式4)のn、縦軸がrad(ABC)¹⁺ⁱ/Cの比

おわりに

NHKの番組見て、思いついただけなので、
数学が得意な人、これでは破れないよというご意見など、お願いします。

数学者は宇宙をつなげるか？ａｂｃ予想証明をめぐる数奇な物語（前編）スペシャル - NHK