中高生でも分かる粒子の加速

　前に粒子の合体をやったけど、今回は粒子の加速です。

　問題は、静止する質量（m₁ = 1）、光速度（c = 1）、の粒子1に、同じエネルギーの光子2で加速したときの合成質量（M）と粒子速度（v）がどうなるかだ。

１、粒子の加速

　まずは、粒子１の重力質量M₁は、

E₁ = M₁c² = m₀w₀² = 1　　(1).

　w₀：粒子１の波動スピード

　粒子１の静止質量（m₀）と同じエネルギー粒子２との合体後のエネルギーは、

E = M₁c²＋p₂c = Mc² = (c／w)mw² = M(v²＋w²) = 2　　(2).

　w：合体粒子の波動スピード、

γ = c／w = m／M：光の運動量の等価原理

※合体前の運動エネルギーが全部、合体後の運動エネルギーになるとして、

　Mw² = m₀c² = 1、w = √(m₀c²／M) = c／√2、v = c／√2　　(3).

　物質粒子の合体との違いは、静止エネルギーが両方にあるか片方だけかの違いだけで、重力質量との関係（100gの肉と100gの野菜を足すと200g）で計算すると相対論の四元運動量の式は無用です。

２、運動エネルギーは1/2？

　E = m₉c²＝m₉(w²±v²)、は運動エネルギー m₉v² と内部エネルギー m₉w² の合成だが運動エネルギーは (1/2)m₀v² じゃないの？

　横軸を運動速度v、縦軸を運動量 mv の変化量 0～v の積の半分の三角形の積は1/2になるのは、内部エネルギーの変化を無視した近似なんです。

運動エネルギーと運動量の違い - スタディヘルプ

運動エネルギー（pc）を加えて加速の場合
　E ＝m₀c²＋pc ＝m₉c²＝m₉(w² ± v²) ＝(c/w₋)m₁w²＝γm₁w² ≒ m₀c²＋m₀v²/2
　（m₀：静止質量、m₉：重力質量、m₁：慣性質量）
　静止する観測者から見た場合
　　E＝m₀c²＋pc＝m₉c²＝m₉(w₋²＋v₋²)＝(c/w₋)m₁w₋²＝γ₋m₁w₋²、m₁＝γ₋m₉
　運動する物体から見た場合
　　E＝m₀c²＝m₉c²＝m₁c²
自由落下による加速の場合
　E＝m₀c²＝m₉(w² ± v²)＝γm₁w² ≒ m₀c²＋m₀v²/2
　無限遠から見た場合
　　E＝m₀c²＝m₉(w₋²＋v₋²)＝(c/w₋)m₁w₋²＝γ₋m₁w₋²、m₁＝γ₋m₉＝γ₋m₀
　落下する物体から見た場合
　　E＝m₀c²＝m₉c²＝m₁c²

速度が十分に小さい場合や局所慣性系の視点から見た場合、質量の変化は無視できるため、運動エネルギーの近似表現として「(1/2)mv²」が使用されます。

ルートの近似公式（一次近似）： x が十分 0 に近いとき√(1+x)−−−−− は 1+x/2 で近似できる。
https://mathtrain.jp/genenikou