📐オイラーの公式をいちから教えてください

2023年7月30日 19:57

級(きゅう、シリーズ)ここでは1連のつながりの意味だが、訳語が分かりづらい

級数：無限に続く数列の項を全て足し合わせたものを指します。具体的には、a1, a2, a3, ....という数列があった場合、その級数はa1 + a2 + a3 + ...と表現されます。これは有限個の項の和（つまり、通常の合計）を無限に拡張したものです。級数が特定の値に収束するかどうか（つまり、合計が実数になるかどうか）はその級数の性質によります。

分かりづらい

経緯はよくまだ分からないのだが、1連のつながりがある数を、全部足したらどうなるか、考えた人がいたようだ。スターウォーズ1から9まで足したらスターウォーズ、みたいなことか。

べき級数：これは特殊な種類の級数で、項が一般的に基底（通常は実数または複素数）のべき乗である級数を指します。具体的には、a0 + a1x + a2x^2 + a3*x^3 + ... のように表現されます。ここで、a0, a1, a2, ...は数列の項で、xはべき級数の基底です。

でた、そして、いきなり級の意味もわからず特殊な種類が登場する数学

べき級数は級数の一種ですが、その項が特定の形（基底のべき乗）を持つという特性を持っています。この特性により、べき級数はさまざまな数学的、物理学的現象を表現するのに非常に有用です。例えば、微積分ではテイラー級数という特定のべき級数が頻繁に使われます。

テイラー級数は、関数をその特定の点の周りで平滑化（または直線化）し、解析的に扱いやすくするための強力なツールです

テイラー展開: テイラー展開は関数をその特定の点周辺で無限次の多項式として表現します。特に、微分可能で滑らかな関数に対して、任意の点を中心とする局所的な近似を提供します。つまり、テイラー展開は「時間領域」の信号または関数を、その周辺の別の点での「時間領域」表現に変換します。

フーリエ変換: 一方、フーリエ変換は「時間領域」の信号または関数を「周波数領域」に変換します。フーリエ変換は関数を正弦波と余弦波の無限和（つまり、異なる周波数の波の和）として表現します。

関数と収束と数列

関数が生成する数列の性質として「収束」があります。収束するとは、その数列の項がある特定の値に近づいていくことを意味します。数列の収束性を議論する際には、その数列が何らかの関数によって生成されていることを前提として、関数の形や性質を基に収束の様子や収束先の値を調査することが多いです。

例えば、関数 ( f(n) = \frac{1}{n} ) によって生成される数列は、無限大において0に収束します。これは、( n ) が大きくなるにつれて ( \frac{1}{n} ) の値が0に近づいていくことから明らかです。

このように、関数と数列、そして収束性は密接に関連しており、数学的に多くの議論や研究が行われています。

# 必要なライブラリのインポート
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 角度xの範囲を定義（0から4πまで1000ポイントでサンプリング）
x = np.linspace(0, 4 * np.pi, 1000)

# オイラーの公式に基づく実部と虚部
y = np.cos(x)  # cos(x)はオイラーの公式の実部に相当
z = np.sin(x)  # sin(x)はオイラーの公式の虚部に相当

# 3Dグラフの設定
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# 螺旋形のプロット
ax.plot(x, y, z, label="Euler's formula helix")

# 軸ラベルの設定
ax.set_xlabel('X axis (Angle)')
ax.set_ylabel('Y axis (cos(x))')
ax.set_zlabel('Z axis (sin(x))')

# タイトルの設定
ax.set_title("3D Representation of Euler's Formula")

# 凡例の表示
ax.legend()

# グラフの表示
plt.show()

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
    <title>3D Euler's Formula Visualization from chatGPT</title>
    <script src="https://cdn.plot.ly/plotly-latest.min.js"></script>
</head>
<body>

<div id="eulerGraph" style="width:600px;height:400px;"></div>

<script>
    // 角度xの範囲を定義
    var x = [];
    for (var i = 0; i <= 4 * Math.PI; i += 0.1) {
        x.push(i);
    }

    // オイラーの公式に基づく実部と虚部
    var y = x.map(function(value) {
        return Math.cos(value);
    });
    var z = x.map(function(value) {
        return Math.sin(value);
    });

    // 3Dグラフのデータ設定
    var trace = {
        x: x,
        y: y,
        z: z,
        mode: 'lines',
        type: 'scatter3d',
    };

    var data = [trace];

    // グラフのレイアウト設定
    var layout = {
        title: "3D Representation of Euler's Formula",
        autosize: true,
        width: 600,
        height: 400,
        scene: {
            xaxis: {title: 'X Axis (Angle)'},
            yaxis: {title: 'Y Axis (cos(x))'},
            zaxis: {title: 'Z Axis (sin(x))'},
        }
    };

    // グラフの描画
    Plotly.newPlot('eulerGraph', data, layout);
</script>

</body>
</html>

「あなたが回転椅子に座って、ゆっくりと回りながら友達から離れていくと想像してみてください。最初は友達が近くにいるけど、回りながら離れていくと、その距離がどんどん広がっていきます。オイラーの公式も、このようにして、数学の中で美しい模様を作り出します。」

太陽を中心に惑星が回転し、太陽が一方向に進んでいくと、惑星の軌道はオイラーの螺旋を描きませんか？

太陽を中心に惑星が回転し、その太陽自体が一方向に進んでいくシナリオを考えると、惑星の軌道が螺旋形（特に、オイラーの螺旋とは異なるが、螺旋形の軌道）を描くことは理論的には可能です。この現象は、太陽系が銀河の中を移動する際に、惑星が太陽を周回しているという実際の状況に似ています。ただし、この場合に惑星が描く螺旋は、オイラーの螺旋（またはロジスティック螺旋）とは異なり、この螺旋は数学的な特性が定義された特定の種類の螺旋です

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