📈数学的に微分不可能になり勾配が計算できない 隅のある点（cusp）

(MAEに絶対値が含まれていることで)コンピュータに載せて勾配降下法など勾配を計算する手法を用いて直接的に最適化しようとする場合には問題が生じます。なぜなら、絶対値の中身が 0になる点において、数学的に微分不可能になり勾配が計算できないからです。https://t.co/ghn6ehcKdR

— m_oka (@m_oka) August 16, 2023

微分不可能な点は関数が「急激に」変わる場所や、関数が連続していない点などで見られます。微分不可能な点では、接線の傾き（勾配）を一意に定義することができません。

以下は微分不可能になる典型的な状況や例です：

1. 隅のある点（cusp）:

   • 関数 y=∣x∣ は原点 (0,0) で微分不可能です。原点での左側と右側からの接線の傾きが異なるためです。

2. 断点（discontinuities）:

   • 任意の関数f(x) が x=c で断点を持つ場合、その点では微分不可能です。例えば、以下のような階段関数は整数の位置で微分不可能です。

3. 垂直な接線を持つ点:

   • ある点で関数が垂直な接線を持つ場合、その点では勾配が無限大になり、微分不可能です。例えば、関数 1/3y=x1/3 は x=0 で微分不可能です。

4. オシレーションが極端になる点:

   • オシレーションが極端になるような関数は、その点で微分不可能な場合があります。例として、ワイエルシュトラス関数はどこでも微分不可能でありながら、連続的です。

絶対値関数 ∣y=∣x∣ で、中身が0になるのはx=0 の場合です。この場所での関数の振る舞いは「隅のある点（cusp）」の特徴を持っています。したがって、絶対値関数の原点での微分不可能性は、上記のリストの1番目、**隅のある点（cusp）**に該当します。