平面グラフの平行移動はなぜマイナス？

先日、うちの子に、

y＝f(x)上のx=aの接線の式は、
なぜ、y-f(a)＝f'(a)×（x-a）　なのか？

と質問を受けました。

傾きがf'(a)になることは理解できている様ですが、グラフの平行移動の理解が足りなかった様です。

教えた内容をイラストに起こしてみました。

このイラストの説明を動画にするのに苦戦いたしましたが、ついに完成いたしました。

《座標変換で教えるので、多くの子供がつまづく》

学校では、座標軸の変換で説明を受けると記憶していますが、ここで、つまづいてしまう子供たちが多いと思います。

もし、つまずいている子が身近にいたならば、この投稿がお役に立つかもしれません。役に立つことを願っています。

動画をご覧いただいた方が、分かり易いと思いますが、一応、同様の説明を以下に記しておきます。

《関数fとは？》

xをINPUTした時、f(x)がOUTPUTされる機能を持った箱のことです。

関数とはひと昔前は函数と記載されていたように「箱」を意味するものだったのです。

英語ではfunction。機能という意味で、この「箱」が持っている「機能」のこと。

xが箱fを通過すると、f(x)が出てくるのです。

上図の様に、平面グラフでは、横にインプットの数値を、高さにアウトプットの数値をプロットするのが基本となります。

《横にプラスa、縦にプラスb動かした函数がg》

さて、このf(x)を横方向にa、高さ方向にb移動させてみましょう。

移動させたグラフをy=g(x)と書くことにします。

g(x)上の🦋で示した、位置の横座標をx1と書くことにします。

とすると、🦋の高さ方向の座標はg(x1)となりますね。

さて、移動前の🦋の横座標は、x1からaだけ小さい値になりますよね？

すなわち、f(x)上の🦋の横座標は　x1-a　です。

この🦋は、関数f(x)の上のプロットです。

インプットが　x1-a　なのですから、関数f(x)を通過したアプトプットはf(x1-a)となりますよね？

で、ｇ(x)上の🦋とf(x)上の🦋との高さの差は　b　な訳です。

とすると、点線で囲んだ値の関係から、g(x1)-b＝f(x1-a)　となりませんか？

g(x)上の１点をx1と置きましたが、これは、g(x)上のすべての点について成り立ちます。
１だろうが２だろうが、x2だろうが、x3だろうが・・・

ですので、

g(x)-b＝f(x-a）と表現できます。

《今、知りたいのは？》

y=g(x)という函数を、f(x)を用いて表したいのですから、

y-b＝f(x-a)　ということになります。

「プラス方向にaとb動かしたのに、式ではマイナス符号が用いられることが理解しにくい」という、問題もこの説明でご理解いただけると思います。

では、また。