波動方程式の導出と音速・光速
1.波動方程式の導出
![](https://assets.st-note.com/img/1706690303460-ULkL5bQSKt.jpg?width=1200)
上の図のように質量$${m}$$,線密度$${\rho}$$の弦がある.また$${\theta}$$および$${\theta^\ast}$$,振幅は十分小さいと仮定する.すると$${x}$$方向の力のつり合いは,
$$
S\cos{\theta}=S^{\ast}\cos{\theta}^{\ast}
$$
と書ける.ここで,$${\theta}$$と$${\theta^{\ast}}$$は十分小さいので,$${S=S^{\ast}}$$と書ける.また$${y}$$方向の運動方程式は
$$
\sin{\theta}\simeq\tan{\theta}=\frac{y_{n+1}-y_n}{l}
$$
に注意すると
$$
\begin{align*}
m\ddot{y}_n&=S\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}\right)-S\left(\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)\\
\ddot{y}_n&=\frac{S}{ml}(y_{n+1}-2y_n+y_{n-1})
\end{align*}
$$
ここで$${y_n}$$が正弦波$${y_n(x,t)=A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}}$$と仮定すると,$${\ddot{y}_n=-\omega^2y_n}$$であり,三角関数の和を積に直す公式を用いると
$$
\begin{align*}
y_{n+1}+y_{n-1}&=A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_{n+1}}{v}\right)\right\}}+A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}\\
&=2A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}\cos{\left\{\omega\left(\frac{-x_{n+1}+x_{n-1}}{2v}\right)\right\}}\\
&=2A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}\cos{\left(\frac{\omega l}{2v}\right)}\\
&=2y_n\cos{\left(\frac{\omega l}{v}\right)}
\end{align*}
$$
したがって運動方程式は
$$
\omega^2=\frac{S}{ml}\times4\sin^2{\left(\frac{\omega l}{2v}\right)}
$$
となる.ここで,$${\lambda=vT=2\pi\frac{v}{\omega}\ll l}$$という近似をとると,$${\sin{\left(\frac{\omega l}{2v}\right)}\approx\frac{\omega l}{2v}}$$より,
$$
\begin{align*}
&\omega^2=\frac{S}{ml}\times 4\times\left(\frac{\omega l}{2v}\right)^2\\
&\Rightarrow v=\sqrt{\frac{lS}{m}}=\sqrt{\frac{S}{\rho}}
\end{align*}
$$
よって,波の伝わる速さは$${v=\sqrt{\frac{S}{\rho}}}$$となり,質量に依らない.
また改めて運動方程式より,
$$
\begin{align*}
\ddot{y}_n&=\frac{S}{m}\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}-\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)\\
&=\frac{S}{\rho l}\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}-\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)
\end{align*}
$$
について$${l}$$を微小量とみて極限をとることにすると,上の式のカッコの中の第1項目は$${y_n}$$の微分,第2項目は$${y_{n-1}}$$の微分になっている.これらを$${y_n'}$$,$${y_{n-1}'}$$と書くことにすると,
$$
\begin{align*}
\ddot{y}_n&=\frac{S}{m}\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}-\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)\\
&=\frac{S}{\rho l}\left(\frac{y_n'-y_{n-1}'}{l}\right)
\end{align*}
$$
と書ける.同様に上の式のカッコの中身は$${y_n''}$$と書けるので,
$$
\begin{align*}
\ddot{y}_n=\frac{S}{\rho}y_n''\\
\rightarrow\ddot{y}=\frac{S}{\rho}y''
\end{align*}
$$
ここで先ほど求めた$${v=\sqrt{\frac{S}{\rho}}}$$を代入すると,
$$
\ddot{y}(x,t)=v^2y''(x,t)
$$
よって波動方程式が導かれた.
注意
$${y(x,t)}$$は$${x}$$,$${t}$$と2変数の関数なので,一般に微分は偏微分の記号を使い,
$$
\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}
$$
と書く.
2.音速の導出
音波の中では温度は一定ではない.ある瞬間,圧縮領域にある空気は外から仕事をされるため,わずかに高くなる.逆に膨張領域では空気が外に仕事をするため,平衡温度よりわずかに低くなる.これらは気体が断熱的に変化するからである.以下理想気体とする.
![](https://assets.st-note.com/img/1706690899071-BAmeV3wEvS.jpg?width=1200)
図2のように,断面積$${S}$$のピストン内に密度$${\rho}$$の気体が閉じ込められている.速度$${v}$$でピストンを引っ張ったところ,位置$${x}$$にあったピストンは$${y}$$だけ,位置$${x+\Delta x}$$にあったピストンは$${y+\Delta y}$$だけ移動したとする.なおこの操作は準静的断熱過程である.
すると,断熱過程だからPoissonの式が使える.
$$
\begin{align*}
&(p+\Delta p)(V+\Delta V)^{\gamma}=pV^{\gamma}\\
&\left(1+\frac{\Delta p}{p}\right)\left(1+\frac{\Delta V}{V}\right)^{\gamma}=1\\
&\Rightarrow 1+\frac{\Delta p}{p}+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^{\gamma}\simeq1
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
\Leftrightarrow\frac{\Delta p}{p}&=-\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^{\gamma}\\
&=-\gamma\left(\frac{\Delta V}{V}\right)\\
\Delta p&=-\gamma p\frac{\Delta V}{V}
\end{align*}
$$
またこの運動の運動方程式は
$$
\begin{align*}
\rho S\Delta x \ddot{y}&=\Delta p S\\
&=\left\{\Delta p(x)-\Delta p(x+\Delta x)\right\}S\\
\Rightarrow \rho S\ddot{y}&=-S\frac{\Delta p(x+\Delta x)-\Delta p(x)}{\Delta x}
\end{align*}
$$
である.$${\Delta x}$$を微小量とみて極限をとると,上の式の分数のところは微分の定義式になっているので,
$$
\begin{align*}
\rho S\ddot{y}&=-Sp'(x)=-S\Delta p(x)\\
\ddot{y}&=-\frac{1}{\rho}\frac{d}{dx}\left(-\gamma p\frac{\Delta V}{V}\right)\\
&=\frac{\gamma p}{\rho}\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta V}{V}\right)
\end{align*}
$$
と書ける.ここで,$${\Delta V=S\Delta y}$$,$${V=S\Delta x}$$より,
$$
\ddot{y}=\frac{\gamma p}{\rho}\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)=\frac{\gamma p}{\rho}y''
$$
となる.この式を波動方程式$${\ddot{y}=v^2y''}$$と比較すると,
$$
v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}
$$
となり,音速は圧力の平方根に比例し,密度の平方根に反比例することがわかる.
3.光速の導出
![](https://assets.st-note.com/img/1706710038237-b6tHw467W7.jpg?width=1200)
時刻$${t}$$における位置$${x}$$での電場と磁場の磁束密度をそれぞれ$${E}$$,$${B}$$,位置$${x+\Delta x}$$における電場と磁場の磁束密度をそれぞれ$${E+\Delta E}$$,$${B+\Delta B}$$とする.
微小領域①を貫く磁束は$${Bl\Delta x}$$であり,$${\Delta x\ll l}$$とすれば微小領域①の周に沿った電場の足し合わせは$${-{(E+\Delta E)l-El}}$$であるから,Faradayの電磁誘導の法則より
$$
\begin{align*}
-{(E+\Delta E)l-El}&=\frac{\partial B}{\partial t}l\Delta x\\
\therefore \frac{\partial E}{\partial x}&=-\frac{\partial B}{\partial t}
\end{align*}
$$
が得られる.
また微小領域②を貫く電束は$${\epsilon_0El\Delta x}$$であり,$${\Delta x\ll l}$$とすれば,微小領域②の周に沿った磁場の足し合わせは$${-\frac{1}{\mu_0}{(B+\Delta B)l-Bl}}$$であるから,Maxwell-Ampereの法則より,
$$
\begin{align*}
-\frac{1}{\mu_0}\left\{(B+\Delta B)l-Bl\right\}&=\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\Delta x\\
\therefore\frac{\partial B}{\partial x}&=-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t}
\end{align*}
$$
が得られる.
以上より,
$$
\begin{align*}
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial B}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{\partial B}{\partial x}\right)=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial ^2 E}{\partial t^2}\\
\therefore \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}&=\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}
\end{align*}
$$
が得られる.この式と波動方程式を見比べると,光の速さは$${\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}}$$と表され,定数であることがわかる.
注意
$${E}$$を消去したら$${B}$$についての波動方程式も得られ,ここから光は電磁波の一種であることがわかる.
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