波動方程式の導出と音速・光速

1．波動方程式の導出

図１　弦の振動

　上の図のように質量$${m}$$，線密度$${\rho}$$の弦がある．また$${\theta}$$および$${\theta^\ast}$$，振幅は十分小さいと仮定する．すると$${x}$$方向の力のつり合いは，

$$
S\cos{\theta}=S^{\ast}\cos{\theta}^{\ast}
$$

と書ける．ここで，$${\theta}$$と$${\theta^{\ast}}$$は十分小さいので，$${S=S^{\ast}}$$と書ける．また$${y}$$方向の運動方程式は

$$
\sin{\theta}\simeq\tan{\theta}=\frac{y_{n+1}-y_n}{l}
$$

に注意すると

$$
\begin{align*}
m\ddot{y}_n&=S\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}\right)-S\left(\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)\\
\ddot{y}_n&=\frac{S}{ml}(y_{n+1}-2y_n+y_{n-1})
\end{align*}
$$

ここで$${y_n}$$が正弦波$${y_n(x,t)=A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}}$$と仮定すると，$${\ddot{y}_n=-\omega^2y_n}$$であり，三角関数の和を積に直す公式を用いると

$$
\begin{align*}
y_{n+1}+y_{n-1}&=A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_{n+1}}{v}\right)\right\}}+A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}\\
&=2A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}\cos{\left\{\omega\left(\frac{-x_{n+1}+x_{n-1}}{2v}\right)\right\}}\\
&=2A\sin{\left\{\omega\left(t-\frac{x_n}{v}\right)\right\}}\cos{\left(\frac{\omega l}{2v}\right)}\\
&=2y_n\cos{\left(\frac{\omega l}{v}\right)}
\end{align*}
$$

したがって運動方程式は

$$
\omega^2=\frac{S}{ml}\times4\sin^2{\left(\frac{\omega l}{2v}\right)}
$$

となる．ここで，$${\lambda=vT=2\pi\frac{v}{\omega}\ll l}$$という近似をとると，$${\sin{\left(\frac{\omega l}{2v}\right)}\approx\frac{\omega l}{2v}}$$より，

$$
\begin{align*}
&\omega^2=\frac{S}{ml}\times 4\times\left(\frac{\omega l}{2v}\right)^2\\
&\Rightarrow v=\sqrt{\frac{lS}{m}}=\sqrt{\frac{S}{\rho}}
\end{align*}
$$

よって，波の伝わる速さは$${v=\sqrt{\frac{S}{\rho}}}$$となり，質量に依らない．

　また改めて運動方程式より，

$$
\begin{align*}
\ddot{y}_n&=\frac{S}{m}\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}-\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)\\
&=\frac{S}{\rho l}\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}-\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)
\end{align*}
$$

について$${l}$$を微小量とみて極限をとることにすると，上の式のカッコの中の第1項目は$${y_n}$$の微分，第2項目は$${y_{n-1}}$$の微分になっている．これらを$${y_n'}$$，$${y_{n-1}'}$$と書くことにすると，

$$
\begin{align*}
\ddot{y}_n&=\frac{S}{m}\left(\frac{y_{n+1}-y_n}{l}-\frac{y_n-y_{n-1}}{l}\right)\\
&=\frac{S}{\rho l}\left(\frac{y_n'-y_{n-1}'}{l}\right)
\end{align*}
$$

と書ける．同様に上の式のカッコの中身は$${y_n''}$$と書けるので，

$$
\begin{align*}
\ddot{y}_n=\frac{S}{\rho}y_n''\\
\rightarrow\ddot{y}=\frac{S}{\rho}y''
\end{align*}
$$

ここで先ほど求めた$${v=\sqrt{\frac{S}{\rho}}}$$を代入すると，

$$
\ddot{y}(x,t)=v^2y''(x,t)
$$

よって波動方程式が導かれた．

注意
$${y(x,t)}$$は$${x}$$，$${t}$$と2変数の関数なので，一般に微分は偏微分の記号を使い，

$$
\frac{\partial^2y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2y}{\partial x^2}
$$

と書く．

2．音速の導出

　音波の中では温度は一定ではない．ある瞬間，圧縮領域にある空気は外から仕事をされるため，わずかに高くなる．逆に膨張領域では空気が外に仕事をするため，平衡温度よりわずかに低くなる．これらは気体が断熱的に変化するからである．以下理想気体とする．

図2　ピストン内部の様子

　図2のように，断面積$${S}$$のピストン内に密度$${\rho}$$の気体が閉じ込められている．速度$${v}$$でピストンを引っ張ったところ，位置$${x}$$にあったピストンは$${y}$$だけ，位置$${x+\Delta x}$$にあったピストンは$${y+\Delta y}$$だけ移動したとする．なおこの操作は準静的断熱過程である．
　すると，断熱過程だからPoissonの式が使える．

$$
\begin{align*}
&(p+\Delta p)(V+\Delta V)^{\gamma}=pV^{\gamma}\\
&\left(1+\frac{\Delta p}{p}\right)\left(1+\frac{\Delta V}{V}\right)^{\gamma}=1\\
&\Rightarrow 1+\frac{\Delta p}{p}+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^{\gamma}\simeq1
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\Leftrightarrow\frac{\Delta p}{p}&=-\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^{\gamma}\\
&=-\gamma\left(\frac{\Delta V}{V}\right)\\
\Delta p&=-\gamma p\frac{\Delta V}{V}
\end{align*}
$$

またこの運動の運動方程式は

$$
\begin{align*}
\rho S\Delta x \ddot{y}&=\Delta p S\\
&=\left\{\Delta p(x)-\Delta p(x+\Delta x)\right\}S\\
\Rightarrow \rho S\ddot{y}&=-S\frac{\Delta p(x+\Delta x)-\Delta p(x)}{\Delta x}
\end{align*}
$$

である．$${\Delta x}$$を微小量とみて極限をとると，上の式の分数のところは微分の定義式になっているので，

$$
\begin{align*}
\rho S\ddot{y}&=-Sp'(x)=-S\Delta p(x)\\
\ddot{y}&=-\frac{1}{\rho}\frac{d}{dx}\left(-\gamma p\frac{\Delta V}{V}\right)\\
&=\frac{\gamma p}{\rho}\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta V}{V}\right)
\end{align*}
$$

と書ける．ここで，$${\Delta V=S\Delta y}$$，$${V=S\Delta x}$$より，

$$
\ddot{y}=\frac{\gamma p}{\rho}\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)=\frac{\gamma p}{\rho}y''
$$

となる．この式を波動方程式$${\ddot{y}=v^2y''}$$と比較すると，

$$
v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}
$$

となり，音速は圧力の平方根に比例し，密度の平方根に反比例することがわかる．

3．光速の導出

図3　電場と磁束密度

　時刻$${t}$$における位置$${x}$$での電場と磁場の磁束密度をそれぞれ$${E}$$，$${B}$$，位置$${x+\Delta x}$$における電場と磁場の磁束密度をそれぞれ$${E+\Delta E}$$，$${B+\Delta B}$$とする．
　微小領域①を貫く磁束は$${Bl\Delta x}$$であり，$${\Delta x\ll l}$$とすれば微小領域①の周に沿った電場の足し合わせは$${-{(E+\Delta E)l-El}}$$であるから，Faradayの電磁誘導の法則より

$$
\begin{align*}
-{(E+\Delta E)l-El}&=\frac{\partial B}{\partial t}l\Delta x\\
\therefore \frac{\partial E}{\partial x}&=-\frac{\partial B}{\partial t}
\end{align*}
$$

が得られる．

また微小領域②を貫く電束は$${\epsilon_0El\Delta x}$$であり，$${\Delta x\ll l}$$とすれば，微小領域②の周に沿った磁場の足し合わせは$${-\frac{1}{\mu_0}{(B+\Delta B)l-Bl}}$$であるから，Maxwell-Ampereの法則より，

$$
\begin{align*}
-\frac{1}{\mu_0}\left\{(B+\Delta B)l-Bl\right\}&=\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\Delta x\\
\therefore\frac{\partial B}{\partial x}&=-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial E}{\partial t}
\end{align*}
$$

が得られる．
　以上より，

$$
\begin{align*}
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial B}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{\partial B}{\partial x}\right)=\epsilon_0\mu_0\frac{\partial ^2 E}{\partial t^2}\\
\therefore \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}&=\frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}
\end{align*}
$$

が得られる．この式と波動方程式を見比べると，光の速さは$${\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}}$$と表され，定数であることがわかる．

注意
$${E}$$を消去したら$${B}$$についての波動方程式も得られ，ここから光は電磁波の一種であることがわかる．