よくわかるベイズの定理

ベイズの定理式は2通りの式を書いているだけ

一般的に教科書で解説されているベイズの定理の式は以下の形をしている

$$
P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}
$$

これは変形すると

$$
P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)
$$

となりこれは

$$
P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B) = P(A \cap B)
$$

を表しているに過ぎないので覚えるときは$${P(A \cap B)}$$を
Aを起点にして求める$${P(B|A)P(A)}$$
Bを起点にして求める$${P(A|B)P(B)}$$

2通りの式を書けばいいだけなので超簡単！

ベイズの定理の使い方

なんで$${P(A \cap B)}$$を2通りの式で表記する必要があるのかというと
Aを起点にして求める$${P(B|A)P(A)}$$の情報しかなく
$${P(A|B)}$$というB起点の条件つき確率を求めたい時があるからである
（逆も然り）

実際に例題を解いてみる

【問】

日本国内で厨二病に罹患している患者は0.1%であるとし、これを検知する検査法の精度は99%
また厨二病でない人でもこの検査法は1%検知してしまう

サトシくんが検査法で検知されてしまった場合、陽性である確率は？

【解】

Aを厨二病罹患
Bを検知される事象にする

$${P(A|B)}$$というB起点の条件つき確率を求めたいので
A起点の情報を整理する

$$
P(A) = 0.001\\
P(A^c) = 0.999\\
P(B|A) = 0.99\\
P(B|A^c)=0.01
$$

$$
P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B) 
$$

から変形して

$$
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\\
{}\\
=  \frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c)}\\
{}\\
=  \frac{0.001×0.09}{0.001×0.09 + 0.999×0.01}\\
{}\\
= 0.0089
$$

 よって0.89%が答えとなる