よくわかるヤコビアンと確率変数の変数変換

この記事の目的

「統計検定準1級対応 統計学実践ワークブック（以下ワークブック）」4章変数変換にでてくる2つの独立な確率変数$${X,Y}$$の線型結合$${Z = aX + bY}$$の確率分布

$$
f_z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|} f_x(\frac{z}{a} - \frac{bw}{a}) f_y(w)dw\\
{}\\
where   Z = aX + bY,  W = Y 
$$

を証明する

確率分布の変数変換

$${X,Y → Z,W  \\ where  Z = aX + bY,  W = Y}$$ の変換は
同時確率分布とヤコビアンを用いて

$$
f_x(x)f_y(y) = f_z(z) f_w(w) |J|\\
$$

ただし

$$
\begin{vmatrix}
 \frac{\partial Z}{\partial X} &   \frac{\partial Z}{\partial Y} \\{}\\
 \frac{\partial W}{\partial X} &   \frac{\partial W}{\partial Y}
\end{vmatrix}
$$

$$
= a    (= |J|)
$$

と表すことができる

分子に変換後の変数、分子に変換前の変数があり

$$
f_y(y) = f_x(x)\frac{\partial x}{\partial y}\\
{}\\
→ f_y(y)dy = f_x(x)dx
$$

の2変数版と考えるとわかりやすく、
これは確率要素(微小区間の確率)と呼ばれる

では、ヤコビアンとは一体なんなのか深掘りしていく

2次元ヤコビアンは微小面積の変換前と変換後の面積比（Scale factor）

例として半径3の円を極座標変換した場合を考えよう

極座標変換とは
円の$${x,y}$$を
半径と角度の$${r, \theta}$$
に変換することである

$${r}$$の範囲は円半径の範囲なので0から3
$${\theta}$$の半径は円が取りうる角度の範囲なので0から2 $${\pi}$$

これを図に表すと下図のようになる

https://www.youtube.com/watch?v=hhFzJvaY__U

ここで微小面積を白線で表すと変換した前と後で
面積の値が変わっていることに気がつくだろうか

例えば左の長方形の微小面積は一定だが、
右の円の微小面積は中心部が小さく、外側が大きい

この微小面積の変換前と変換後の面積比（Scale factor）を表したのが
ヤコビアンである！

ヤコビアンを使えば上の例$${r,\theta → x,y}$$だと

$$
dxdy = |J| drd\theta
$$

とい微小区間の面積の等式ができる

このときのヤコビアンは下記で求めることができる

$$
\begin{vmatrix}
 \frac{\partial x}{\partial r} &   \frac{\partial x}{\partial \theta} \\{}\\
 \frac{\partial y}{\partial r} &   \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix}
$$

確率分布の変換→微小区間の確率の等式に微小区間の面積（ヤコビアン）を代入

$${X,Y → Z,W  where  Z = aX + bY,  W = Y}$$ の変換は
同時確率分布とヤコビアンを用いて

$$
f_x(x)f_y(y) = f_z(z) f_w(w) |J|\\
$$

ただし

$$
\begin{vmatrix}
 \frac{\partial Z}{\partial X} &   \frac{\partial Z}{\partial Y} \\{}\\
 \frac{\partial W}{\partial X} &   \frac{\partial W}{\partial Y}
\end{vmatrix}
$$

$$
= a    (= |J|)
$$

となったのだった

これを両辺$${w}$$について積分すると$${\int_{-\infty}^{\infty} f_w(w)dw  = 1}$$に注意して

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f_x(x)f_y(y) \frac{1}{|J|}dw = f_z(z)
$$

$${(x,y) = (\frac{z}{a} - \frac{bw}{a},w)}$$を代入すると

$$
f_z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|} f_x(\frac{z}{a} - \frac{bw}{a}) f_y(w)dw
$$

が証明された