サルでもわかる二項分布からポアソン分布

はじめに

前回は超幾何分布から二項分布を導出した。そして今回はさらに二項分布からポアソン分布を導出してみたいと思う。
前回は母集団のサイズ限りなく大きくし、成功確率が試行ごとに可変から一定な復元抽出へと近似変換することで超幾何分布から二項分布を証明した。

二項分布からポアソン分布への導出の気持ち

前回は母集団のサイズを限りなく大きくしたが今回はサンプルサイズを限りなく大きいと仮定する。
この時$${np = \lambda > 0 }$$というふうに一定にして、事象の起こる確率も限りなく小さいという前提も追加する。
つまりこの確率分布は起こる確率は結構小さいが、離散的な事象が起こる観測を何回もしている場合に適応される。ただし事象の発生確率は一定とする。（定常性）

二項分布からポアソン分布の証明

まとめ

二項分布からポアソン分布が導かれることから理解できると思うがポアソン分布で考えられる問題は二項分布で考えても何ら間違いではないことを意識しておくことが大事である。しかしサンプルサイズを大きくしてしまうと二項分布の計算が煩雑になってしまうので、ポアソン分布で考えた方が楽だというのがポアソン分布を使う動機になっている。