類人猿ならギリわかる2変量正規分布の条件付き期待値と分散

起

統計準1級を勉強していると過去問で2変量正規分布の条件付き期待値の問題が出てくるがワークブックの解説が途中式の展開が雑いのでこの機会にまとめていこうと思う
条件付き期待値と分散を求めるにあたって今回は確率分布を条件付きの元でゴリゴリ変形して求めていこうと思う

期待値

$$
E(Y|X = x) = \mu_y  +  \rho\sigma_y\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}
$$

分散

$$
V (Y|X=x) = \sigma_y^2(1-\rho^2)
$$

承

今回は$${X,Y}$$を正規分布に従う連続確率変数として$${X=x}$$が与えられたときの条件付き確率密度関数は

$$
f(Y|X=x) = \frac{f(x,y)}{f(x)}
$$

と表すことができる
方針としてはこの式にそれぞれの確率密度関数をぶち込み、最終的に平方完成をして平均と分散がわかる正規分布の式の形に整えていく

転

まず、条件付き確率密度関数を計算していく

次に式を展開していく
$${y}$$について次数をDescendingに並べて
共通の係数で括った後に平方完成する

結

そうすると下記の結果が得られる

感覚としては
期待値は元々の期待値に2変数の相関と$${X}$$自体の影響で値が変化し
分散は元々の分散に2変数の相関の影響で値が少し小さくなる