生存時間解析

2023年1月10日 16:35

起

生存時間解析とは死亡や故障などの特定のイベントが
ある時点よりも先に起こるのか後に起こるのかに着目し
特に後にイベントが起こるとき、
イベントや故障は発生していないので
これを生存時間と呼んでいる。

また、このイベントを確率変数とすると
イベントが発生するまでの待ち時間を定義している指数分布と
相性が良いことがわかるので、以下指数分布で考えて確率変数を死亡事故と仮定する

イベント発生する時間の確率変数を$${T}$$として
観測時点を$${t}$$とする

累積分布関数 $${F(t) = P(T \leq t)}$$
→時刻$${t}$$ まで時間が過ぎたとき，すでに死んでいる確率

生存関数 $${S(t) = P(t < T)}$$
→時刻 $${t}$$ まで時間が過ぎたとき，まだ生きている確率

$$
S(t) + F(t) = 1
$$

またf(t) は下記の式から指数分布に従うことが確認できる

$$
f(t) = (F(t))^{'} = \lambda exp(-\lambda t)
$$

ここで指数分布の性質から、

$$
E(X) = \frac{1}{\lambda}
$$

$$
V(X) = \frac{1}{\lambda^2}
$$

なので標本の平均や分散の値からパラメーター$${\lambda}$$
の値が決定する

累積分布関数 $${F(t)}$$ 　はすでに死んでいる確率
生存関数 $${S(t)}$$ 　　　はまだ生きている確率

$${f(t)}$$の指数分布の式から確率変数$${T}$$の推定値を
計算する

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