大切なのは両方の矢印が成り立つことです。

同値変形について

式①を式②に代入して式③が出来たとします。
このとき、
①②と同値な式は①③であります。（②③ではない。）

感覚的には、①②と同値な式は③だろうと感じます。
なぜ①③なのでしょうか？
なぜ②が消えるのか？

このことの説明として、
２変数関数の場合
y=f(x)・・・①を
g(x,y)=0・・・②に代入するので、

y=f(x)
g(x,f(x))=0
となっています。

同値、は片方があればもう片方も導ける、とも言えます,(A⇒B, B⇒Aの両方が成り立つ、ということです。)

同じ例を使うと
①y=f(x)
②g(x, y)=0
③g(x, f(x)) = 0

まず①②⇔①③ですが、
①②⇒①③は大丈夫でしょう。
①③⇒①②も③のf(x)を①を使ってyにすれば①②が導けます。

①②⇔③はどうでしょう。
①②⇒③はたしかに成り立ちます。
しかし③⇒①②は、yがないのでどうしても無理です。よって同値ではありません。

同じように①②⇔②③も成り立ちません。
例を挙げます。
f(x) = x
g(x, y) = x^2 + y^2 - 1とします。
①y=x
②x^2 + y^2 - 1 = 0
③2x^2 - 1 = 0
②,③から導けるのはy = ±xまでです。①にはなりません。

場合によっては①②⇔②③も成り立ちます。例えば
①y=x
②x+y-2 = 0
③x = 1
です。

大切なのは両方の矢印が成り立つことです。