統計準1級 予想問題

自作の予想問題です。

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ある母集団が平均$${μ}$$、分散 $${σ^2}$$の正規分布$${N(μ,σ^2)}$$に従っているとする。サンプル$${(X_1, X_2, \dots, X_n)}$$を用いて母平均$${μ}$$を推定するための標本平均$${\bar{X}}$$を考える。

1) $${\bar{X}}$$の分散を求めよ。
2) 正規分布のフィッシャー情報量$${I(μ)}$$は$${\frac{1}{σ^2}$$で与えられる。このとき、クラメール・ラオの不等式に基づいて、母平均$${μ}を推定するための不偏推定量の分散の下限を求めよ。
3)標本平均$${\bar{X}}$$は漸近有効であると言えるか？その根拠を述べよ。

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