テンソルに関する個人メモ

テンソルわからん。故にメモを残す。
内容は確認してませんっていうかほぼ間違ってるので参考にしないでね

テンソルを利用する目的として座標変換に対して不変の量を扱いたいというのがあるようだ

ベクトル

$$
\vec{A} = A^1e_1 + A^2e_2 = A_1e^1 + A_2e^2
$$

たとえば

$$(e_1, e_2, e_3) = (x, y ,z)$$

みたいな組み合わせ。でも直交してない前提で話を進めたいのでなす角θ_12,θ_23,θ_31として

$$
\vec{e_i} \cdot \vec{e_j} = 
\left\{
\begin{array}{ll}
\vec{e_1} \cdot \vec{e_1} = \| \vec{e_1} \|^2 & \vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = \| \vec{e_1} \|\| \vec{e_2} \|\cos{\theta_{12}} & \vec{e_1} \cdot \vec{e_3} = \| \vec{e_1} \|\| \vec{e_3} \|\cos{\theta_{13}} \\
\vec{e_2} \cdot \vec{e_1} = \| \vec{e_2} \|\| \vec{e_1} \|\cos{\theta_{21}} & \vec{e_2} \cdot \vec{e_2} = \| \vec{e_2} \|^2 & \vec{e_2} \cdot \vec{e_3} = \| \vec{e_2} \|\| \vec{e_3} \|\cos{\theta_{23}} \\
\vec{e_2} \cdot \vec{e_1} = \| \vec{e_3} \|\| \vec{e_1} \|\cos{\theta_{31}} & \vec{e_3} \cdot \vec{e_2} = \| \vec{e_3} \|\| \vec{e_2} \|\cos{\theta_{32}} & \vec{e_3} \cdot \vec{e_3} = \| \vec{e_3} \|^2 \\
\end{array}
\right.
$$

共変ベクトル、反変ベクトル、共変成分、反変成分

3次元であれば単位反変ベクトル（？）は逆格子と一致する。

$$
e^i = \frac{e_j \times e_k }{e_i \cdot (e_j \times e_k)}
$$

$$A^i = \vec A \cdot \vec{e_i}$$

単位ベクトルの関係↓定義っぽい？

$$
\vec{e_i} \cdot \vec{e^j} = 
\left\{
\begin{array}{ll}
\vec{e_1} \cdot \vec{e^1} = 1 & \vec{e_1} \cdot \vec{e^2} = 0 & \vec{e_1} \cdot \vec{e^3} = 0 \\
\vec{e_2} \cdot \vec{e^1} = 0 & \vec{e_2} \cdot \vec{e^2} = 1 & \vec{e_2} \cdot \vec{e^3} = 0 \\
\vec{e_2} \cdot \vec{e^1} = 0 & \vec{e_3} \cdot \vec{e^2} = 0 & \vec{e_3} \cdot \vec{e^3} = 1 \\
\end{array}
\right.
$$

計量について

$$
g = \{g_{ij}\}=
\begin{pmatrix}
g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
g_{21} & g_{22} & g_{23} \\
g_{31} & g_{32} & g_{33} \\
\end{pmatrix}
$$

$$
\{g^{ij}\}=
\begin{pmatrix}
g^{11} & g^{12} & g^{13} \\
g^{21} & g^{22} & g^{23} \\
g^{31} & g^{32} & g^{33} \\
\end{pmatrix}
=
\frac{gの余因子}{\| g\|}
$$

計量と長さの関係

$$
(ds)^2 \\
=  g_{11}de_1de_1 + g_{12}de_1de_2 + g_{13}de_1de_3 + g_{21}de_2de_1 + g_{22}de_2de_2 + g_{23}de_2de_3 + g_{31}de_3de_1 + g_{32}de_3de_2 + g_{33}de_3de_3 \\
= g_{ij}de_ide_j \\
=
\begin{pmatrix}
g_{11} & g_{12} & g_{13} \\
g_{21} & g_{22} & g_{23} \\
g_{31} & g_{32} & g_{33} \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
de_1 \\
de_2 \\
de_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
de_1 & de_2 & de_3
\end{pmatrix}
$$

計量と長さの関係（極座標）

$$
(x, y, z) \rightarrow (r, \theta, \phi)
$$

$$
(ds)^2 \\
= dr^2 + r^2{d\theta}^2 + r^2\sin^2\theta {d\phi}^2  \\
= 1drdr + 0drd\theta + 0drd\phi+ 0d\theta dr + r^2d\theta d\theta + 0d\theta d\phi + 0d\phi dr + 0d\phi d\theta + r^2\sin^2\theta d\phi d\phi \\
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 \\
0 & 0 & r^2\sin^2{\theta} \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
dr \\
d\theta \\
d\phi
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
dr & d\theta & d\phi
\end{pmatrix}
$$