Lowring W. Tu のDifferential Geometry 問15.4 解答

本記事ではDifferential Geometry (Lowring W. Tu 著)の問15.4の自分の解答を公開します．そんなに難しい問題ではないのですが，自分が解くのに結構時間がかかってしまったので，備忘録かつ自戒的な意味もあります．

Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes (Graduate Texts in Mathematics)

問15.4
$${G}$$をリー群とし，$${\langle\,\, , \,\,\rangle}$$を$${G}$$上の両側不変リーマン計量とする．このとき$${\nabla}$$がLevi-Civita接続なら任意の左不変ベクトル場$${X,Y}$$に対して$${[X,Y] = 2\nabla_X Y}$$が成り立つことを示せ．

この問題を解くために補題を2つ示しておきます．

補題1
$${G}$$をリー群とし，リーマン計量を$${\langle \,\, , \,\, \rangle}$$で表す．左不変ベクトル場$${X,Y}$$は任意の左不変ベクトル場$${Z}$$に対して$${\langle X, Z \rangle = \langle Y, Z \rangle}$$が成り立つならば$${X = Y}$$である．

証明.
$${\langle X, Z \rangle = \langle Y, Z \rangle}$$より$${\langle X - Y, Z \rangle = 0}$$である．$${X,Y}$$が左不変ベクトル場なら$${X-Y}$$も左不変ベクトル場であるから$${Z = X-Y}$$とすれば$${\langle X - Y, X - Y \rangle = 0}$$が成り立つ．したがって正定値性より$${X - Y = 0}$$がわかる．$${\Box}$$

補題2
$${G}$$をリー群とし，$${\langle \,\, , \,\, \rangle}$$を左不変リーマン計量とする．このとき左不変ベクトル場$${X,Y}$$に対して$${\langle X, Y \rangle \colon G \to \mathbb{R}}$$は定数関数である．

証明.
任意の$${g \in G}$$に対して

$$
\begin{align*}
\langle X, Y \rangle (g) &= \langle X_g, Y_g \rangle_g\\
&= \langle (l_g)_{\ast}X_e, (l_g)_{\ast}Y_e \rangle_g & (\because X,Yは左不変ベクトル場)\\
&= \langle X_e, Y_e \rangle_e & (\because {\langle \,\, , \,\, \rangle} は左不変)
\end{align*}
$$

が成り立つので$${\langle X, Y \rangle}$$は定数である．$${\Box}$$

補題2から任意のベクトル場$${Z}$$に対して$${Z\langle X, Y\rangle = 0}$$であることがわかります．

これらを用いて問15.4を示します．

解答.
Koszul formula，(テキストの)命題15.16，(上の)補題2より，任意の左不変ベクトル場$${X,Y,Z}$$に対して

$$
\begin{align*}
2\langle \nabla_X Y, Z \rangle &= X\langle Y, Z \rangle + Y\langle X, Z \rangle - Z\langle X, Y \rangle\\
& \quad + \langle [X, Y], Z \rangle - \langle [X,Z], Y \rangle - \langle [Y,Z], X \rangle\\
&= \langle [X, Y], Z \rangle - \langle [X,Z], Y \rangle - \langle [Y,Z], X \rangle\\
&= \langle [X, Y], Z \rangle - \langle Y, [X,Z] \rangle - \langle X, [Y,Z] \rangle\\
&= \langle [X, Y], Z \rangle - \langle [Y, X], Z \rangle - \langle [X, Y], Z \rangle\\
&= \langle [X, Y], Z \rangle +\langle [X, Y], Z \rangle - \langle [X, Y], Z \rangle\\
&= \langle [X, Y], Z \rangle
\end{align*}
$$

が成り立つ．したがって補題1より

$$
[X,Y] = 2\nabla_X Y
$$

が言える．$${\Box}$$