【極限】sin x/xの極限【数学Ⅲ】
みなさん、こんにちは。「＋αで学びたい高校数学のnote塾」支配人のゆーです。
本日は大阪大学で入試にもそのまま出題された証明問題について解説していきます。これは、おそらく知っていないと証明できないのではないでしょうか？
今日の問題はこちら！
sin x を導関数の定義にしたがった微分を行う際に登場してきますよね？おそらくみなさん、証明はあんまりしたことないのでは？スタートを知らない状態で証明を考えても詰まるだけなので、ここでしっかり出だしを覚えていきましょう！
Point① : 三角形と扇形の面積比較から証明を導く。
上のような図を考えます。
上の図の面積を考えることにより、次の図のような式が得られます。
Point② : 不等式を変形し、求めたい形をつくる！
ここからの変形もなかなか複雑です。頑張っていきましょう。
前の写真の最後の行のすべての辺をsin xで割ったところからスタートしてます。
※1行目→2行目・・・各辺の逆数をとる。大小関係も変わる。
※2行目→3行目・・・各辺を2で割る。一番左は変形もした。
これで、やっと求めたい形がでてきましたね！
Point③ : はさみうちの原理で極限値を定める！
しっかりと右側極限と左側極限を確認してくださいね。
証明お疲れさまでした！！これが(1)とは…。
本番で出題されたら、少し焦りそうですね。