【離散数学】"同型か？"問題についてのメモ

群G_1とG_2は同型か？問題について

予備知識

1. 群の定義
   (a)結合法則が成り立つ
   (b)単位元が存在する
   (c)逆元が存在する
   ※群は、群の要素と演算から成り立つ。
   (例) G={G, +}

2. 同型の定義
   $${G_1→G_2}$$への同型写像が存在すること

3. 同型写像の定義
   準同型写像かつ全単射

4. 準同型写像の定義
   演算が保存される

$$
G_1 = \{G_1, ⚪︎_1\},G_2=\{G_2,⚪︎_2\}とし、\\
f : G_1→G_2のとき、\\
f(a⚪︎_1 b) =f(a)⚪︎_2 f(b)が成り立つ
$$

証明の手順

①同型写像となるような写像を自分で定義する(well-definedかに注意)
- 閉じているか？
- 全単射か？

②準同型写像であることを示す

$$
f(a⚪︎_1 b) = f(a)⚪︎_2 f(b)
$$

③全射であることを示す

$$
\forall f(a) \in G_2について、\exist a\in G_1
$$

④単射であることを示す

$$
f(a)=f(b) \in G_2のとき、a=b \in G_1
$$

例題

以下のサイトが詳しく書かれている。参考にすると良い。

https://takataninote.com/group/grp-hom.html

2022/7/25 せき