正四面体の内接球 正四面体の展開 その1 230922

YouTube 動画
正四面体ABCDとその内接球をGeoGebraに描かせてみましょう。
自分で作ってみます。私は次のようにしました。

正三角形BCD を $${xy}$$ 平面に作ります。
三角形BCD の外心が原点O となるように外接円をつくり、
その円周の3等分点としてB, C, D をとることにします。

線分AO の長さを求めてみましょう。
四面体をADを通る平面で2等分します。
切り口の二等辺三角形を考察することによって求めることができます。
これで正四面体を描くことができます。

内接球の半径 $${r}$$ はいくらでしょうか。
内接球の中心をP として、
四面体を4つの四面体 PABC, PABD, PACD, PBCD に分割します。
4つの四面体は合同です。
三角形ABC などの面積を $${S}$$ とすると、
4つの四面体の体積の合計は $${\frac{4}{3} S r}$$ です。
四面体ABCD の体積は、
底面と高さの組み合わせを 三角形BCDと線分AO にとったとき、
高さを $${h}$$ とすると、$${\frac{1}{3} S h}$$ です。
したがって、 $${r = \frac{h}{4}}$$ であることがわかります。