対数関数のグラフ 曲線の長さ

曲線$${y=\log x}$$ の一部、 A $${(0,~ 1)}$$ からB $${(2\sqrt{2},~ \log 2\sqrt{2})}$$ までの曲線の長さを計算してみましょう。

$${(\log x)^\prime = \dfrac{1}{x}}$$ です。
求めたい曲線の長さは $${L=\displaystyle{\int_1^{2\sqrt{2}} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}~ dx}}$$ を計算すればいいことになります。

$${\int \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}~ dx}$$ $${=\int \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}~ dx}$$
これを見ると 置換積分かなと思います。
$${x=\tan \theta}$$ と置いてみます。(ほかの方法もあります。)

$${\int \dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}~ dx}$$ $${=\int \dfrac{1}{\cos\theta\tan\theta}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}~ d\theta}$$
$${=\int \dfrac{1}{\sin\theta}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}~ d\theta}$$ $${=\int \dfrac{\sin\theta}{\sin^2\theta}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}~ d\theta}$$

さらに $${\cos\theta=t}$$ と置き換えます。
$${\int \dfrac{\sin\theta}{\sin^2\theta}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}~ d\theta}$$ $${=\int \dfrac{1}{t^2 (t^2-1)}~ dt}$$

ここまでくると、部分分数分解です。
$${\int \dfrac{1}{t^2 (t^2-1)}~ dt}$$ $${=\int \left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}\right)-\dfrac{1}{t^2}\right)~ dt}$$

あとは積分範囲です。
$${x=1}$$ のとき $${\theta=\dfrac{\pi}{4}}$$ で、$${t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}$$ はいいと思います。
$${\theta=\alpha}$$ とおきます。
$${\tan\alpha=2\sqrt{2}}$$ ですから、$${1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}}$$ を用いて、$${\cos\alpha=\dfrac{1}{3}}$$
つまり、$${x=2\sqrt{2}}$$ のとき $${t=\dfrac{1}{3}}$$

したがって、
$${L=\displaystyle{\int_1^{2\sqrt{2}} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}~ dx}}$$
$${=\displaystyle{\int_\frac{1}{\sqrt{2}}^\frac{1}{3} \left(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)-\frac{1}{t^2}\right)~ dt}}$$
$${=\displaystyle{ \left[\frac{1}{2}\log\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+\frac{1}{t}\right]_\frac{1}{\sqrt{2}}^\frac{1}{3}}}$$
$${=3-\sqrt{2}-\log(2-\sqrt{2})}$$

かなり煩雑ですが、不自然な計算ではありません。
$${y=\log x}$$ の 弧長が計算できるということは $${y=e^x}$$ もできるということですね。