見慣れない問題の解決法 240226

どの分野でも見たことある、やったことある問題は簡単に見えます。見たことのある問題を増やすために例題があったり、過去問に取り組んだりします。だから、見慣れない問題は難しいといわれますが、実は簡単な問題もあります。

ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになりました。このような自然数で最大のものを求めてください。必要なら次のことを用いてもいいです。(2024 京都大)
$${0.3010\lt \log_{10}2\lt 0.3011}$$, $${0.4771\lt \log_{10}3\lt 0.4772}$$

こんなときは、そもそも論です。以下断らなければ、数は十進法で表記します。
例えば、十進法で５桁の自然数は10000から99999 まで、指数を使って表せば $${10^4}$$ から $${10^5-1}$$ までです。
八進法で５桁の自然数は、指数を使って表せば $${8^4}$$ から $${8^5-1}$$ まで、つまり 4096 から 32767 までです。
九進法で５桁の自然数は、指数を使って表せば $${9^4}$$ から $${9^5-1}$$ まで、つまり 6561 から 59048 までです。
ということは、$${8^5-1}$$ は 3つの数表記のどれも5桁である最大の数です。

$${8^n\lt 9^n\lt 10^n}$$ です。つまり、
(八進法での桁数) ≧ (九進法での桁数) ≧ (十進法での桁数) … ①
上の例では、八進法で5桁の自然数のうち、十進法での桁数が 5桁のものが存在します。n を大きくしていくと、そのうち、八進法でn 桁の自然数はすべて、十進法での桁数が n 未満となりそうです。八進法でn 桁の自然数のうち最大である $${8^n-1}$$ でも 十進法での桁数が n - 1 となる場合を調べてみましょう。

$${3n\times 0.3010\lt\log_{10}8^n\lt 3n\times 0.3011}$$
0.903n と n - 1 を比べて、見当をつけます。
n = 10 で、$${9.03\lt\log_{10}8^{10}\lt 9.033}$$,
n = 11 で、$${9.933\lt\log_{10}8^{11}\lt 9.9363}$$
すなわち、$${10^9\lt 8^{10}\lt 8^{11}\lt 10^{10}}$$
八進法で 11 桁の自然数はすべて、十進法では 10桁です。

$${8^{k}\lt 10^{k-1}}$$ ならば $${8^{k+1}\lt 8\times 10^{k-1}\lt 10^k}$$
よって、n が 11以上のときは、 八進法で n 桁の自然数はすべて、十進法では n 桁未満です。つまり、八進法と十進法で桁数は同じになることはありません。

$${8^{10}}$$ は八進法では11桁ですが、
$${8.5878 \lt \log_{10}9^9\lt 8.5896}$$, $${9.542 \lt \log_{10}9^{10}\lt 9.544}$$ですから、
$${9^9\lt 8^{10}\lt 9^{10}}$$ 九進法でも 10 桁です。

$${8^{10}-1}$$ は八進法では10桁ですが、
$${10^{9}\lt 8^{10}-1}$$ より十進法でも10 桁です。
（どうやって説明しましょうか？$${8^{10}}$$ の一の位は0 ではないので 1減じたくらいでは桁数は変わらない。）
①より九進法でも10桁です。

3つの数表記の桁数が同じ最大の自然数は $${8^{10}-1}$$ だと分かりました。