今日の最大・最小 240214

最大値、最小値を求めよ、とりうる値の範囲を求めよ、という問題は多いです。関数関係が見つかった、関係式が見つかったときに、range を調べたくなる感覚は数学のよさの一つだと思います。

半径1 の円周上に３点A, B, C があります。内積$${\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}}$$ の最大値と最小値を調べてみましょう。(2020 一橋大)

1行しかない問題文は不気味です。いろいろなアプローチがありそうです。ベクトルのよさは失われますが、特殊化してみましょう。
A(1, 0), B$${(\cos\alpha, \sin\alpha)}$$, C$${(\cos\beta, \sin\beta)}$$ と置きます。α, β は 0 以上 2π 未満、α は β 以上 としても一般性は失われません。

$${\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=(\cos\alpha-1)(\cos\beta-1)+\sin\alpha\sin\beta}$$
$${=\cos(\alpha-\beta)-(\cos\alpha+\cos\beta)+1}$$
このとりうる値の範囲を調べたいのですが、また、いろいろなアプローチがありそうです。
ここでは、2倍角の公式や和→積の公式を使いたいと思います。
$${\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}}$$$${=2\left(\cos^2\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$$

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ここで、$${x=\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}$$, $${y=\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}$$ とおいて、$${-1\leqq x\leqq 1}$$, $${-1\leqq y\leqq 1}$$のとき$${f=x^2-xy}$$ のとりうる値の範囲を調べます。

x を固定して考えると、f は y についての1次関数ですから、
$${x^2-|x|\leqq f\leqq x^2+|x|}$$ となります。
(x, y) = (1, -1) または (x, y) = (-1, 1) なる α, β が存在するならば、f の最大値は 2、内積の最大値は 4 となります。
$${0\leqq \frac{\alpha-\beta}{2}\lt \pi}$$, $${0\leqq \frac{\alpha+\beta}{2}\lt 2\pi}$$ に注意すると実は、x は -1 をとれません。
$${(\alpha,\beta)=(\pi,\pi)}$$ で (x, y) = (1, -1) ですので、内積の最大値は 4 となります。

$${x^2-x=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}$$, $${x^2+x=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}$$　ですので、
$${(x, y) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)}$$ または $${(x, y) = \left(-\frac{1}{2}, -1\right)}$$ なる α, β が存在するならば、f の最小値は $${-\frac{1}{4}}$$、内積の最小値は $${-\frac{1}{2}}$$ となります。
$${(\alpha, \beta) = \left(\frac{5}{3}\pi, \frac{\pi}{3}\right)}$$ で $${(x, y) = \left(-\frac{1}{2}, -1\right)}$$ ですので、内積の最小値がわかりました。