不等式は不等式のままで 240228

等式の同値変形はしっかりとしますが、不等式は大きい、小さいということだけに注目して、どのくらい大きいというのは深く見ないときがあります。

必要ならば、$${0.3\lt \log_{10}2\lt 0.31}$$ であることを用いてもいいです。
以下の問いに答えてください。
(1) $${5^n\gt 10^{19}}$$ となる最小の自然数 n を求めてください。
(2) $${5^m+4^m\gt 10^{19}}$$ となる最小の自然数 m を求めてください。
(東京大 2024)

$${0.69\lt \log_{10}5\lt 0.7}$$, $${0.69n\lt \log_{10}5^n\lt 0.7n}$$ 
0.7n と 19 で見当をつけて
n = 27 として、$${18.63\lt \log_{10}5^{27}\lt 18.9}$$ … ① 
n = 28 として、$${19.32\lt \log_{10}5^{28}\lt 19.6}$$ ですから、
$${5^{27}\lt 10^{19}\lt 5^{28}}$$
求める n は 28 です。

(1) から m = 28 のとき $${5^{28}+4^{28}\gt 10^{19}}$$ となります。
m = 27 はどうか調べてみましょう。
①より、$${18.93\lt \log_{10}2\cdot 5^{27}\lt 19.21}$$ ですから、とても微妙です。 

$${0.6m\lt \log_{10}4^{m}\lt 0.62m}$$ ですから、
$${16.2\lt \log_{10}4^{27}\lt 16.7}$$ ゆえに $${10^{16}\lt 4^{27}\lt 10^{17}}$$
一方 $${5^{27}}$$ は 19 桁の数です。
$${5^{27}+4^{27}}$$は 19桁 か 20桁 の数です。

$${5^{27}}$$ についてもう少し詳しく調べると、
$${0.9\lt \log_{10}8\lt 0.93}$$ ですから ①とあわせて
$${18.63\lt \log_{10}5^{27}\lt \log_{10}8+18}$$ すなわち $${10^{18}\lt 5^{27}\lt 8\cdot10^{18}}$$
したがって、$${5^{27}+4^{27}}$$ は $${10^{19}}$$ を超えることはありません。
求める m は 28 です。