∫ cosx/(sinx+cosx) dx

先日、生徒から質問でこんな問題が試験に出てきたらしい。

∫cosx/(sinx+cosx) dx

この積分はよく定積分で出すことが多い。
区間は0からπ/2。

t=π/2-xとおくと

∫sint/(sint+cost) dt

となり足すときれいになる。

king propertyの定理と呼ばれるものだ。名前は知らなくても、内容としては覚えておきたい。

しかし今回は定積分ではなく、不定積分であるため難しい。

結論からいうと、2倍して、+sinx-sinxを加えるとうまくいく。logの中身は絶対値。

ちなみに、質問してくれた子はt=tan(x/2)っておいてしまったらしい。