Quiz：AAの神様の問題の解説（付録）

Quiz：AAの神様の問題の解説（https://note.mu/maspy_stars/n/n7c4140ce22aa/）
の付録となります。

■１．シンプルな別解■

私はAAを使わない解法を模索した結果、なかなか大変な解法になってしまっていました。AAを使うことで簡潔に神様に勝ち越す別解を寄せていただきました。ありがとうございます。

超deepであるため、flopではこちらのEQが50.001%でもあれば神様はcallできません。基本的に50%が確保できるAAに、わずかなsetを加えることでこれを達成しています。set 予備軍をわずかにしか持ち込んでいないため、bet 頻度も十分ですね。

（より広いレンジでcallして、setだけでなくtwo pairやflushを積極的に利用するような）私の解法と本質的に異なる別解があるとは思っていましたが、flopだけで勝ち越してしまうこの方法は見落としていました。ありがとうございました！

■２．出題コメント■

「こちらの強いハンドに"わけのわからないハンド"でcallされて負けた！」というような、よく見かける光景が元ネタです。今回の問題では、最強のハンドAAでbet sizeが100000bbという設定。これをひとつひとつはEQが20%にも満たないweak pocket pairでcallして勝ち越しを決めています。

AAは「最強のハンド」であり、ひとつのハンドを選んでプレイする形（KKだけプレイするなど）では神様に勝ち越すことはできません。pokerは「ハンド vs ハンド」ではなく「レンジ vs レンジ」のゲームです。弱いハンドでも力を合わせるとAAを打ち破れる。面白いですね。

一般論としてはdeep stackであるほど、どのようなboardでもrangeがcapされにくいrangeでプレイするべきだということが言えます（board cover）。この問題はその極端な場合だと捉えることもできます。

■３．よくある誤答■

preflopまでを私の解法と同様にこなしていた方であっても、
「nutがあってeffective stackが無限なので勝ち」
「flop all-inに対して神様はcallできないからEV=0」
という「誤答」を見かけました。これは誤りです。

確かに神様は、一度でもsetでのall-inにcallしてしまうと10000.....00000bbとか持っていかれるわけで、いつもcallしていると簡単に搾取されまくってしまいます。

しかし神様の戦略は、call, foldの2択ではありません。混合戦略があります。

100%call 戦略 → 負け
100%fold 戦略 → 負け
という考察によって、負けを決意するのは時期尚早です。

例えばflop all-inに対して、神様はMDF callという戦略をとることができます（最適戦略とは限らない）。
これはpot size 1、effective stack xのall-inに対して
・確率x/(x+1)でfold、確率1/(x+1)でcallする
という戦略をとるものです。

この場合、all-inをする側のEVは、
　x/(x+1) × 1 + 1/(x+1) × (-x + (2x+1) ×equity) = (2x+1)/(x+1) × equity
となります。xが非常に大きい状況であれば、約2 × equity。

この神様の戦略に対して（flop all-in または give up）で戦うことを考えます。この選択肢の範囲での我々の最適戦略は、レンジ全体でall-inをすることです。2 × equityずつのEVを獲得しますが、解説で「都合の良いflop」としたflopの中でも、22～KKのpairからなるレンジの平均equityが25%に満たないものが多数を占めます。我々のEVはpotの50%にも届かず、負け越しです。

したがって、例えば「pocket pairでcallして、setとブラフで flop all-inする」という解法は誤答であることがわかります。解説と同様のpreflop戦略から始めた場合
・flop all-inだけで戦っても神様に勝ち越すことはできない
・flop, turn, riverというstreetを活かした戦いをする必要がある
といえますね。

■４．turn戦略のPioSOLVERによる確認■

解説中に現れたturnの戦略（解説中(8)）に神様がcallできないことを、PioSOLVERで確認しましょう。

・turn KsQsJs2c、我々はset 12comboと適当なpair 18comboをプレイ。
・可能な限りdeep stackの設定をしています（65535が上限）。
・「Remove lines」の指定により、checkから始まるプレイを除外。
・bet sizeの「a」はall-inの指定です。

このレンジに対するAsAcのEQは69.773%。解説(11)で述べたように、神様がcallするにはbet rangeへのEQ74.7%が必要なのでfold確定。OOPはbetした場合にpotの100%を獲得する。このことがsolverにより確かめられました。

実際には、straightやflushをblockするようなpairを優先的にbetして、39comboをbetしてもEQ十分、神様はfoldせざるを得ないということも分かります。解説では (c) の場合にpotの50%を取れることを証明しましたが、65%以上が獲得できることになりますね。