時の街で地を測る．-Advent Calendar ゆる科学部 Maroon編-
0. はじめに
本記事は，ゆる言語学ラジオ非公式Advent Calendar 2023の13日目に寄稿された，ゆる科学部［1］担当記事内にてMaroonが測定した手法や取り組みの詳細を深掘りしたものである．残念ながら，ユーモア欠乏症に罹患して久しいため，我ながら生真面目な仕上がりとなってしまった．サラッと読むには多少重たい記事となったことを先にお断りしておく．また，記事後半は見積もり徒歩待ちのため完成していないこともお詫び申し上げます．
[1] ゆる科学部とは，ゆる学徒の科学を愛する者たちの同好会である．
1. 測定原理および測定手法
1-1. 現状と方針
困難が立ちはだかった時，我々技術者は二択に迫られる．ゴリゴリの技術力で押し切るか，エレガントなアイディアを創造するかである．私は残念ながらノコギリやハンダすら所有していない状態である．惑星スケールの問題に立ち向かうには頼りない状態だ．比較的簡易に手に入る材料で，高度な技術を要する切削，研磨，接合をなるべく避けなければならない．本章では，紆余曲折の後に考案した太陽の方位角・仰角測定器の原理及び製作について述べる．
1-2. 測定原理
角度の直接測定で問題となるのは目盛の読みである．例えば1°の違いを区別するには，$${1^\circ =\frac{\pi}{180} [\rm rad]}$$より，直径150mmの分度器では$${\frac{\pi}{180}\frac{150}{2}=1.3 [\rm mm]}$$の目盛が必要である．0.1°程度の分解能を得るために角度を何らかの方法で増幅しようと考えた．機械的なネジや歯車のような接触を伴う機構では，加工精度や遊びの観点で精度を簡単に上げることは難しい．そこで非接触の分解能向上法として，光に注目した．Fig. 1 に示すような器具を考える．
光の反射を扱う際は，鏡面を対称面として仮想的に鏡の奥にも空間が広がっていると考えると良い．小学校か中学校の理科でやった記憶がうっすらあるが，この歳になって役に立つと思わなかった．さて．Fig. 1の赤線で示した太陽からの入射光は固定鏡で反射し，青色の線で示した経路を辿り，固定鏡から$${h_2}$$の位置でトレーシングペーパーに投影される．これを鏡面で対象となるように展開すると，Fig. 2に示したように赤線を延長した線が光の仮想的な経路となる．こうすることで，$${h_2}$$を幾何的に計算しやすくなり，どういった変化をするかも理解しやすくなる．
ここで， Fig. 1 で可動鏡と定義した上側の鏡を$${\alpha}$$だけ開いた状態を考える（Fig. 3）．すると，反射してトレーシングペーパーに投影される位置は固定鏡から高さ$${h_2'}$$に変化する．その変化$${\Delta h_2 = h_2' - h_2}$$を計算することで，太陽の高度を測定することとした．
具体的には，可動鏡と固定鏡の為す角を30°となるように調整し，その時投影された反射光の位置$${h_2}$$と，太陽の仰角まで可動鏡を開いた時に投影された位置$${h_2'}$$を測定した．
太陽の仰角が$${\pi/6+\alpha}$$のとき，可動鏡と固定鏡の為す角を30°に調整した初期状態と，太陽の仰角まで可動鏡を開いた状態を考える．初期状態では，$${h_1}$$と$${h_2}$$の関係は式(1)で表される．
$$
\frac{h_2}{l}=\frac{\sqrt{3}-3\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}+\frac{2h_1}{l}}{\sqrt{3}-\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}} \tan{(\frac{\pi}{6}-\alpha)} (1)
$$
次に，太陽の仰角に角度を合わせた時の$${h_1}$$と$${h_2'}$$の関係は式(2)で表される．
$$
\frac{h_2'}{l}
=\frac{\tan{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}-(1+\frac{1}{\cos{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}})\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}+\frac{h_1}{l\cos{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}}}
{1+\tan{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}} (2)
$$
つまり，式(2)から式(1)の両辺を引けば，$${\Delta h_2 = h_2' - h_2}$$が得られるのだ！あとは，$${\Delta h_2}$$から$${\alpha}$$を逆算すればよい．
……解けるか？これ．（※無理）
困った時のTaylor展開を駆使して3次の精度で計算を進めたが，その辺りはAppendixに回すとしよう．
ただ，運の良いことに今回測定する範囲では，以下の近似がよく成り立つことが分かった．
$$
\frac{\Delta h_2}{l}=-4.1\alpha (3)
$$
これを変形し，基準の角度30°を考慮すると，仰角を求める式(4)が得られる．
$$
\phi [\rm deg]= \cal 30 + \frac{1}{4.1}\frac{180}{\pi}\frac{\Delta h_2[\rm mm]}{l [\rm mm]} (4)
$$
1-3. 節で製作した器具の寸法$${h_2=75[\rm mm]\cal， l =150[\rm mm]}$$を代入すると，$${\phi [\rm deg]= \cal 30 +0.093\Delta h_2[\rm mm]}$$となる．つまり，$${\Delta h_2}$$が1mm変化すると可動鏡の傾きが0.093°変化したことになる．0.5mm程度の目盛の読みで0.05°の分解能となり，市販の分度器の10倍の精度が得られたのである．（ただし，近似を用いているので，どこまで正確かは議論の余地がある）．
1-3. 測定器
前節の原理を用いた測定器を製作した．Fig. 4に試作器を示す．蓋付きの手鏡の蓋部分にミラーシートを一面に貼って合わせ鏡としており，トレーシングペーパーの中ほどにスリットを開けたものを貼っている．光源に向けて鏡を向け，鏡の開閉とともにスリットから入射した光が，反射してトレーシングペーパーに映る様子が確認できたため，本格的に器具の製作に取り掛かった．
Fig. 5 は合わせ鏡を設置する板である．土台に聳え立つ板は，切り出した下敷きにトレーシングペーパー２枚を1mmの隙間を空けて貼り，その上から目盛付きのマスキングテープを貼ったもので，2つのL字アングルを用いて固定している．
Fig. 6に，合わせ鏡部分を，Fig. 7に板に固定した装置全体を示す．Fig. 6 では見えにくいが，可動鏡（合わせ鏡の蓋）の上面に長方形に切り出した下敷きを貼り付けている．この下敷きの影を見ることで太陽の方角を検知する．また，角度の固定と調節用にM8ネジと板付きナットを可動鏡に固定している．最後に，使用材料をTable 1に示す．一部の板材，ネジ類，方眼紙を除いて，ほとんどを百均で揃えたため，思ったよりは安く済んだ．
1-4. 測定当日
測定器の製作及びスケジュールの関係から12月3日（日曜日）に測定することとした．ところで当然のことながら，地球の大きさを測るには測定地点2点間が遠く離れていればいるほど良い．本プロジェクトの参加者は押し並べて関東方面に集中しているが，私は唯一例外の関西用例である．西はただ一人の一発測定にかかっているのだ．そこで，上で製作した測定器具を紙袋に詰め込み，1mでも西で測定できるように進み続けた．
とりあえず，明石駅で下車し，明石城跡のある近くの兵庫県立明石公園へ．公園だったら違法行為でなければ多少変なことやってても許されるだろう．知らんけど．
すると測定器具の設置に良さそうな平面日時計が（Fig. 9）．なんと明石市は日本標準時を定める標準時子午線の東経135°線が通る街であるというのだ．何たる偶然か．南中時刻と太陽の向きの測定に打って付けの街だ．
ただ，観光地ということもあり人通りも多かったため，邪魔にならなさそうなスペースに移動し，測定を開始した（Fig. 10）．
さて，本測定器を用いた測定は以下の手順で行う．
水平面に方眼紙を敷く．
Fig. 2に示した合わせ鏡を固定した平板を方眼紙上に置く．
太陽の方位角に方眼紙上で合わせ鏡を固定した平板を向ける．
方位磁針と方眼紙の成す角と，平板の向きを方眼紙から読み取る．
可動鏡と固定鏡の為す角を30°で反射光が投影される高さ$${h_2}$$を測定する．
太陽の仰角まで可動鏡を動かし，反射光が投影される高さ$${h_2 '}$$を測定する．
投影された光の位置の変化$${h_2'-h_2}$$から，式(4)より可動鏡の開閉した角度を計算する．
測定の一例をFig. 11，12に示す．Fig. 11は鏡の蓋を30°の角度に固定して太陽に向けた際の反射光の様子である．この時，トレーシングペーパーのスリットから4.5mm下方に光が投影されていることが分かる．続いて，Fig. 12は鏡の蓋を太陽の仰角まで開いた状態である．この時，反射光はスリットより26mm下方に投影されている．この投影された位置の変化から仰角を計算する．
Fig. 11 上鏡面を仰角30°に固定した時の反射光（at 12:35）
Fig. 11 と比べて反射光が下へ移動していることが分かる．
また，Fig. 13，14に示すように，方眼紙上に置いた方位磁針が指す向きと鏡の固定台の向きを方眼紙の座標から読み取り，方位を計算した．
1-5. 計算結果
Fig. 15に方位を，Fig. 16に仰角の計算結果を示す．方位は線形近似，仰角は2次の多項式近似によりフィッティングした．Fig15，16のフィッティングはそれぞれ式(5)， (6)で与えられる．
$$
\theta=0.2457t+12.761 (5)\\
\phi=-1.016 \times 10^{-3} t^2 -3.229 \times 10^{-2} t + 2.668 (6)
$$
ここで，$${t}$$は正午を0minとした分単位の時刻，$${\theta}$$は方位磁針の指す南を基準に西方向を正とした方位角で，$${\phi}$$は仰角である．
式(5)，(6)より，計算した結果をTable 2.に示す．
測定は以上である．
2. Appendix
2-1. 検討の過程
まずは，太陽の方角を観測するために必要な要件についてまとめよう．
南を検知できる
水平面を検知できる
太陽の方位角及び仰角を正確に検知できる
太陽の方位角及び仰角を測定するのに十分な精度を持つ
さて，太陽の仰角及び偏角を測定するための古来より用いられる手法として，影を用いるものがある．これは，鉛直棒から落ちた影の先端と棒の根本からの距離，棒の高さから逆三角関数により求める手法である．また，単純に影の方向を直接測定する方法もあるだろう．つまり，大きく分けて，a. 長さ測定，b. 角度測定の2種類となる．今回は，参加者の地域から考えて，太陽の方位に関してはそこまでの精度は要求されないが，仰角に関しては正確に測定したい．そこで，a. 長さ測定，b. 角度測定について，仰角の測定精度を向上させる手法を考案した．
2-2. ブレストで出したアイディア達
a. 長さ測定による仰角測定法
a-1. 大物体を用いる方法
街中のビルや該当，樹木等の影を用いる方法で，鉛直棒の影を用いる方法の亜種である．本手法は，測定する長さが長いために1mm，10mm程度の精度で測定できた場合，非常に精度良く測定可能であるメリットがある．しかしながら，大物体から落ちる影の先端が鋭利な形状である必要があることから，適切な形状を選択する必要があると考えられること，大物体の高さを測定するために，三角測量等を用いて間接的に求める必要があること，1mオーダーの長さを数mmの精度で測定することは困難であることなどがデメリットとなる．典型的な手法であるため奇抜さはないがシンプルで良い．
a-2. 水平板と鉛直棒からなる日時計方式
日時計の要領で，影の長さを測定する方法であり，a-1の縮小版と言える．これも典型的でシンプルで良い．デメリットとしては，棒の鉛直度の精度を出す難しさがある．ただし，棒先端から日時計の基盤へ垂線を下ろして影先端までの長さを測定するなど工夫のやりようはあると思われる．
a-3. 鏡による光路長の延長法
a-1とa-2の利点を生かす方法案である．これは，鏡を用いることで棒の長さの測定の容易さと測定距離の両立を狙うものである．
単純なモデルとして，Fig. 1 のような装置を考える．
Fig. 1において，高さ$${h_1}$$の棒の頂点を通る光の道筋は，Fig. 2のように鏡a~bにおける対称性を考慮して展開すれば分かりやすい．例えば，鏡aを反射して鏡bに到達した光は，鏡aを対称面として，鏡b，c，dの像である鏡b'，c'，d'を仮想的に配置すると，光は鏡aを透過して直進して鏡b'に到達した状態と考えることができる．同様に，鏡b，c，d，について展開すると，従来は棒の高さが$${h_1}$$であったのに対して，実質的には$${h_2}$$の棒を用いて測定することと等価な状態であることが分かる．
デメリットとして，垂直，平行の精度維持が難しく，測定精度に影響を与えうることが挙げられる．
a-4. 鏡による仰角測定精度向上法
太陽の仰角測定の精度向上の一つとして水面を直接用いる手法を考案した．Fig. 3にピンホールおよび格子を備えたトレーシングペーパーと水，鏡からなる装置を示す．ピンホールから入射した太陽光は水に浮かぶ鏡面を反射し，トレーシングペーパー裏面に投影される．水面とトレーシングペーパーとの距離が既知であるとき，ピンホールと投影された太陽光の距離を求めると，太陽の仰角が正確に求められる．
精度の保証が特に難しいと考えられるのはトレーシングペーパーの傾きと思われる．そこで，Fig. 4のように，トレーシングペーパーが僅かに傾いている場合を考える．
トレーシングペーパーの傾きと$${l_1'}$$の関係式を求め，$${l_1}$$との差を考えると，２次の微少量は無視できる場合には変化しないことがわかる．このように，本手法は太陽の仰角測定に関して良い精度が期待できる．ここで，問題となるのは水面からトレーシングペーパーとの距離の正確な測定，鏡面を水面に浮かせる方法である．
b. 角度測定による仰角測定法
b-1. 水面による水平面補償法
容器内の水を静止させて水面により水平面を補償し，分度器の読みから直接太陽の方角を測定する．
b-2. 重力式鉛直補償法
分度器の中心から錘を吊るすことで鉛直を補償し，分度器の読みから直接太陽の方角を測定する．
b-3. 合わせ鏡による角度変化増幅法
本項は，今回の測定に用いた手法であり，1-2. 節の測定原理にて説明した通りである．ここでは，1-2. 節で省いた近似値ついて補足する．改めて式(1)，(2)を示す
$$
\frac{h_2}{l}=\frac{\sqrt{3}-3\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}+\frac{2h_1}{l}}{\sqrt{3}-\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}} \tan{(\frac{\pi}{6}-\alpha)} (1)\\
\frac{h_2'}{l}
=\frac{\tan{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}-(1+\frac{1}{\cos{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}})\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}+\frac{h_1}{l\cos{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}}}
{1+\tan{(\frac{\pi}{3}-4\alpha)}\tan{(\frac{\pi}{6}+\alpha)}} (2)
$$
相変わらず絶望的である．これを加法定理を用いたり，直接Taylor展開したりして4次以降を無視した場合，最終的には次のようになる（はず）．
$$
\frac{h_2}{l}=-2\alpha
+\frac{2}{\sqrt{3}}\alpha^2
-\frac{4}{3}\alpha^3
+\frac{h_1}{l}(
1-\frac{2}{\sqrt{3}}\alpha
+\frac{2}{3}\alpha^2
+\frac{4}{\sqrt{3}}\alpha^3
) (1')\\
\frac{h_2}{l}=-6\alpha
+6\sqrt{3}\alpha^2
-\frac{1120}{9}\alpha^3
+\frac{h_1}{l}(
1-2\sqrt{3}\alpha
+22\alpha^2
-\frac{164}{\sqrt{3}}\alpha^3
) (2')
$$
式(2')から式(1')の差を取ると，
$$
\frac{\Delta h_2}{l}=-4\alpha
+\frac{16}{\sqrt{3}}\alpha^2
-\frac{1108}{9}\alpha^3
+\frac{h_1}{l}(
-\frac{4}{\sqrt{3}}\alpha
+\frac{64}{3}\alpha^2
-\frac{168}{\sqrt{3}}\alpha^3
) (2')
$$
となる．やったね！解の公式がある代数方程式にまで帰着できたよ！……でっていう．
一応，式(2)-式(1)，つまり三角関数からなる式2つの差を取ったCase1，式(2')-式(1')としたCase2，そして，今回計算に用いた1次の近似式Case3としてグラフを書いたものがFig. 5である．黒線がCase1，赤線がCase2，青線がCase3である．今回は，$${\alpha>0}$$の領域であったため，比例式の青線が黒線と比較的広範囲で近似できている．
このことから，ある程度正しく角度を測定できると判断した．
さて，本節を通して検討した測定方法を説明してきた．ここで，次の制約条件を課した．
可搬性の確保及び垂直，平行，平面の大きな歪み抑制のため300mm程度のスケールとする．
垂直，平行を保証する必要がある場合は，可能な限り既製品の加工面を用いる．
簡単に入手可能な部品を用いる．
せっかくなので，誰とも被らない気を衒った方法が望ましい．
これら4条件から最も良さそうなものを考慮した結果，b-4の合わせ鏡による仰角測定精度向上法を採用した．
余談１
せっかく明石まで来たのだから，やっぱり明石焼き．出汁の効いたふわふわの卵生地に旨味が凝縮した蛸飯，これだけで価値あると思う．
余談2
ゆる天文学ラジオで激推ししていた明石市立天文科学館へ．一人プラネタリウムを眺め，これで越山さんに怒られずに済みそうだと思いながら，やはり寝落ちしてしまった．当ラジオの中で，プラネタリウム回は特にお気に入りだったのだが，実際に投影器などもじっくりと観察したり，コニカミノルタ等々のゆる天文学ラジオで登場した名前を発見したりと爆速で伏線が回収された．コネドみが深い．こういったちょっとした気付きの嬉しさが増えるのも，ゆる学徒の良い面だろうと思う．
時計，時間の歴史という自己言及的な展示があり，結構じっくりと過ごせた．そして，館内を東経135°線が通っているので反復横跳びでもしたらいいと思う．
科学館の屋上には様々な日時計が設置された，その名も日時計広場があり，明石海峡大橋なども望む展望台となっている．（時計塔の展望室までは行く時間がなかった．残念……）
余談3
今回，検討・計算した紙．日時計ではない．
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