Diophantine equation 5

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(22/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${5}$$
$${(5.1)}$$  $${x^2+y^2=z^2+w^2}$$
$${(5.2)}$$  $${x^2+y^2=z^2+w^4}$$
$${(5.3)}$$  $${x^2+y^2=z^2+w^{4p}}$$
の整数解を求める。
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$${case(5.1)}$$  $${(x^2+y^2=z^2+w^2)}$$
まず、次の恒等式を使う。
$${(a-b)^2+2ab=a^2+b^2}$$
$${y^2=2ab}$$になる様に、
$${a=2m^2 , b=n^2}$$とおく。
すると、$${y=2mn}$$となるので、

$${(x,y,z,w)=(2m^2-n^2,2mn,2m^2,n^2)}$$
$${(m,n)=(2,1)}$$→$${(x,y,z,w)=(7,4,8,1)}$$
つまり$${7^2+4^2=8^2+1^2}$$である。
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$${case(5.2)}$$  $${(x^2+y^2=z^2+w^4)}$$
$${case(5.1)}$$  の$${w=n^2}$$なので
$${w→w^2}$$と置き換えると、
$${x^2+y^2=z^2+w^4}$$の解がえらる。
つまり、
$${(x,y,z,w)=(2m^2-n^2,2mn,2m^2,n)}$$
$${(m,n)=(3,1)}$$→$${(x,y,z,w)=(17,6,18,1)}$$
つまり$${17^2+6^2=18^2+1^4}$$である。
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$${case(5.3)}$$  $${(x^2+y^2=z^2+w^{4p})}$$
$${case(5.2)}$$  $${w=n}$$なので
$${w→n^p}$$と置き換えると、
$${x^2+y^2=z^2+w^{4p}}$$の解が得られる。
つまり、
$${(x,y,z,w)=(2m^2-n^{2p},2mn^p,2m^2,n)}$$
が解である。
$${(p,m,n)=(3,31,3)}$$→
$${(x,y,z,w)=(1193,1674,1922,3)}$$
つまり$${1193^2+1674^2=1922^2+3^{12}}$$である。
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