Lander,Parkin,and Selfridge conjecture 1

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(7/2/2024)}$$
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$${LPS}$$予想
$${Lander, Parkin, and \<space> Selfridge \<space> conjecture}$$
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【ランダー・パーキン・セルフリッジ予想】
$${(LPS}$$予想$${)}$$
$${L}$$乗数の和が$${L}$$乗数の和と等しい場合、項の数は少なくとも$${L}$$個であるという予想。未解決。
フェルマーの最終定理の一般化のひとつである。

$${1}$$より大きい$${m,n}$$と、自然数
$${a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2…b_n}$$に対して
$${\sum\limits_{i=1}^m\ a_i^L}$$ $${=}$$ $${\sum\limits_{j=1}^n\ b_j^L}$$が成立する場合は
$${m+n \geqq L }$$であるという予想。
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【定義】
$${0}$$でない整数の$${L}$$乗数の和$${P}$$個で表される数を
$${T(L,P)=\sum\limits_{i=1}^P a^L_i}$$と表す。
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【$${1}$$】$${Pythagorean~theorem}$$
$${T(2,2)= T(2,1)}$$の整数解。

【$${2}$$】$${Lagrange's ~four~square~theorem}$$
$${T(2,4)= N~,~N\in\mathbb{N}}$$は常に解を持つ。

【$${3}$$】$${Fermat's~Last~Theorem}$$
$${T(L,2)= T(L,1) ,~L \geqq 3 }$$に解なし。

【$${4}$$】$${Euler's~conjecture}$$
$${T(L,L-1)= T(L,1) ,~L \geqq 3 }$$に解なし。
$${(L=4~,~5~}$$に反例あり$${)}$$

【$${5}$$】$${LPS ~conjecture}$$
$${T(L,P_1)= T(L,P_2)→ P_1+P_2 \geqq L }$$
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【色々な例】$${T(L,P)}$$
$${T(2,2)= T(2,1)}$$ $${~~~3^2+4^2=5^2}$$
$${T(2,2)= T(2,2)}$$ $${~~~1^2+7^2=5^2+5^2}$$
$${T(3,3)= T(3,1)}$$ $${~~~3^3+4^3+5^3=6^3}$$
$${T(3,2)= T(3,2)}$$ $${~~~1^3+12^3=9^3+10^3}$$

$${T(4,1)= T(4,3)}$$
$${422481^4=414560^4+217519^4+95800^4}$$
$${(Roger~Frye, 1988)}$$

$${T(4,2)= T(4,2)}$$
$${133^4+134^4=59^4+158^4\\(Euler,1772)}$$
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【未解決】
・$${T(L,2)= T(L,2) ,~~L \geqq 5 }$$
・$${T(L,L-1)= T(L,1) ,~~L \geqq 6 }$$
・$${T(L,P_1)= T(L,P_2)→ P_1+P_2 \geqq L }$$
【特に解決が望まれているもの】
・$${T(5,2)= T(5,2)}$$
・$${T(6,6)= T(6,1)}$$
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宇宙際タイヒミュラー理論により、この問題も
既に解決済なのかは私は知らない。
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$${REFERENCES}$$
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$${J. H. Silverman, \\Taxicabs~and~Sums~of ~Two~Cubes, \\Amer. Math. Monthly, 100\\(1993), 331-340.}$$

$${Zajta, Aurel~J, \\Solutions~of~the~Diophantine~equation\\A^4+B^4=C^4+D^4\\Math. Comp.(1983), 635-659}$$
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