OMC124(4e) の話～

ちすちす、locker です
クソ久しぶりの参加記事ですね～～～～

今回はまさかさの回ということでね、冷えたくないですね
(後日談：温まりました)

A - 300

三角形 OMC シリーズ第 2 弾じゃん ( 1 弾は 101-B )
BC の中点を AC の中点と誤読して時間かかりました
まあノーペナだし許容範囲？だと思われる

B - 300

どう見てもグラフ（というか点を線分で結ぶのでグラフそのもの）
条件を見てるとなんか一つのパスになりそう？

つい最近 004-D について考えてたので，「帰着する」という言葉がすぐに浮かんで解けました．運がいいね～～

C - 400

雰囲気からしてサクサク消えそう～
分母は x⁴+4 = (x²+2)-4x² = (x²+2x+2)(x²-2x+2) の有名事実でおわり
分子はもうなんか脳筋でゴリゴリ因数分解しました（何回かミスってたのでめっちゃ遅いけど仕方ない）

最後に分母に 10 が現れるの気持ち良すぎるね
パズル感覚でとても楽しかったです～

D - 600

初見の見た目ヤバいのでまさかさすごいな～になった

以下，僕の twitter より意訳して引用

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シグマの式は n 進法でどの桁も 0,1,2 のどれかとして表せる数．これが 3n-1 の倍数だったらいい．試しに n=10 の場合どうなるか考えてみると，どの桁も 0,1,2 のどれかで，かつ 29 の倍数だったらいい．ここでなんとなく 19 の倍数判定法を思い出す．
19 の倍数判定法はこんな感じ．ちなみに「数の女王」という小説で読んだ．

操作「一の位を消したものに、一の位を 2 倍したものを加える」
を繰り返して最終的に 19 の倍数になれば元の数も 19 の倍数．

証明は 10a+b ≡ 0 ⇔ 20a+2b ≡ 0 ⇔ a+2b≡0 (mod 19) で完結．
これと似たようなことを 29 でも考えると，一の位を "3 倍"したものを加える，と読み替えればいいとわかる．さらに帰納的に考えていくと

abcde が 29 の倍数 ⇔ a+3b+9c+27d+81 が 29 の倍数

みたいなことが分かる（ 5 桁以外の時も似た感じ）．これは n=10 以外の時も同じようにできて，要は

[0,1,2] + [0,1,2]×3 + [0,1,2]×9 + …… + [0,1,2]×3¹⁰⁰

で表される数（まあ 3¹⁰¹ 未満の非負整数なんだけども）が 3n-1 の倍数だったらいいよね，っていうことが分かってくる．

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つまりは，1331 が 3n-1 型の最大の約数となるような非負整数 < 3¹⁰¹ を決定したらいいわけです ( S,T はそれに合わせていい感じにできる)

なんやかんやしてると 1331×[1,2,5,11]×3ⁿ 型に限られるのが分かります
作業多めでビビってたけど計算ミスすることもなく（実は一回したんだけど見直しのときに直せたので助かった～）ノーペナ CA！うれし～～

すごい楽しかったので結局まさかさすげ～～になった

E - 700

解いてないわ．すまねえ
トーナメントという噂を聞いたので（少し考えれば確かにそんな感じがする）ゆるゆる考えていきたいですなー

F - 700

E はもう捨てていた（なぜなら C 分野なので）ので F に特攻した
で解けなかった（あーあ

AE と外接円の交点取ってたり，結構惜しいところまで行ってたので，あともう少しだったのか….. とすごく悔しかった
というか Miquel 点（回転相似）はコンテスト前にヤマ張ってたのに思いつかなかったのアホすぎるつらい

結果～～～～

A~D ノーペナ 4 完で 22 位でした．
1 ページ目には残れるやろ！笑をしてたのに残れなくてつらいむ…

以下 N 分野大好き勢のお気持ち表明

N 分野の D は解けないのに C,G 分野の E,F 解けたからって，あとは簡単な A~C 解くだけで 1700 点取って上位に上がれるの納得いかなすぎ～～～

以上 N 分野大好き勢のお気持ち表明でした

まあ温まったしいいっちゃいいんですがね… ( 2058 になった)
次の 4e まで極度精進しまうす，久しぶりの記事読んでくれてありがとうございまうすでした～～～～