OMC033(4b)参加したよって話

タイトルのまんまです
今回はkinmokuseiさんの単独writerでした！

A

まず1/S(n)がどう表せるかを考えます。
S(n) = n(n+1)/2なので、1/S(n) = 2/n(n+1)が分かります。

ここで、あの有名なあれ... そう

ぶんぶんはろ... ではなく
部分分数分解！！！

部分分数分解というのは、次のような考え方です。

1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + ... +1/(99×100)
= (1/1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + ... + (1/99-1/100)  ←ここの変形が重要
= 1/1-1/100 = 99/100

今回はこれの分子が2になっただけですね。

2×{ 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + ... +1/(2021×2022) }
= 2×(1/1-1/2022) = 2021/1011

これは既約分数なので、求める答えは2021+1011=3032となります。

B

一般に、n進法で、「n-1の倍数判定法」は、「各桁の和がn-1の倍数である」ことです(10進法での9の倍数など)。

なのでこの場合は、3回振ったさいころの目の和が6の倍数になればいいので

(1,1,4)... 3通り、(1,2,3)... 6通り、(2,2,2)... 1通り、(1,5,6)... 6通り、(2,4,6)... 6通り、(2,5,5)... 3通り、(3,3,6)... 3通り、(3,4,5)... 6通り、(4,4,4)... 1通り、(6,6,6)... 1通り

計36通りなので、36/216=1/6より答えは1+6=7... なのですが

運営さんが出した解説がえげつなくきれいなので、貼っておきます

C

うっへー幾何じゃん... しかも難しそう、という理由だけで飛ばしました
(Dを解いた後帰ってきました)

僕の考え方なのですが、この二つのツイートが全てを語っています

C、三平方の定理って何やねんって思うかもしれないですが
まずどうちゃらこうちゃらするとC1、C2の中心の場所が分かります
そして、AO1O2(O1、O2は中心)に対して三平方をごっりごり使ってあげると、AからO1O2への垂線の長さが出ます
求めるべきはそれの2倍の2乗です

ばか

— ɹǝʞɔol (@locker_math) July 15, 2021

最後にした計算は何だと思いますか？

2401/24 - 14641/168です() https://t.co/PLhUTlMSf6

— ɹǝʞɔol (@locker_math) July 15, 2021

この計算に30分以上はかけた上に、2回WAを出しました...
まあ最終的に答えは出たので良かったです

なお公式の解説は、直線ABとPQの交わる点はPQの中点であることが方べきの定理より分かるので、中線定理などを使って答えを導いていました

答えは389です.

D

パッと見たところ、簡単そうだなーという印象がありました
実際、4bのD問題の中では最も簡単だったようです(104人がCA)

さて、まずxがどのあたりにあるかを考えると、

x=29のとき、3×29^2 - 7×3×29 = 1914
x=30のとき、3×30^2 - 7×3×30 = 2070

なので、だいたい29<x<30であることが分かります。

ここで、3[x^2]はどう考えても3の倍数なので、3で割った余りなどを考えると、[3x]は3で割ると1余る数であることが分かります。

87から90の間にある、3で割って1余る数は88だけなので、[3x]=88です。

この時、[x^2] = (2021+7×88)/3 = 879であり、求める範囲は√879以上√880未満なので、答えは879+880=1759となります。

結果発表～

37位でした！最高順位！そして初全完！！！！

Cの解き方さえ思いついていればもっと上に行けたので、悔しいです...
次回のOMC034も頑張ります！ぞい！！