二次方程式の解の公式の覚え方

二次方程式$${ ax^2 + bx + c = 0 }$$の解を与える公式$${ x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac\,}\,}{2a} }$$というのがある。これさえ覚えてしまえば二次方程式を解けるようになるので、この公式を有難く覚えようとする人と、覚えさせようとする人が現れる。しかし人並みの記憶力では厳しいと考えた方が良い。

1. 地味な平方完成

平方完成自体は$${ x^2 + 2kx + k^2 }$$の形を作ってから$${ (x + k)^2 }$$に変形するだけだが、$${ a }$$が邪魔でそこそこ複雑な分数計算になってしまう。

　　$${ ax^2 + bx + c = 0 }$$
　　$${ x^2 + \dfrac{b}{\,a\,} x + \dfrac{c}{\,a\,} = 0 }$$
　　$${ \rule{0ex}{5ex} x^2 + 2 \bigg(\dfrac{b}{2a}\bigg) x + \bigg(\dfrac{b}{2a}\bigg)^{\!\!2} - \bigg(\dfrac{b}{2a}\bigg)^{\!\!2} + \dfrac{c}{\,a\,} = 0 }$$
　　$${ \rule{0ex}{5ex} \bigg( x + \dfrac{b}{2a} \bigg)^{\!\!2} - \dfrac{b^2}{4a^2} + \dfrac{c}{\,a\,} = 0 }$$　　･･･ 平方完成形
　　$${ \rule{0ex}{5ex} \bigg( x + \dfrac{b}{2a} \bigg)^{\!\!2} = \dfrac{b^2}{4a^2} - \dfrac{c}{\,a\,} }$$
　　$${ \rule{0ex}{5ex} \bigg( x + \dfrac{b}{2a} \bigg)^{\!\!2} = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} }$$
　　$${ \rule{0ex}{5ex} x + \dfrac{b}{2a} = \pm\sqrt{\dfrac{b^2 - 4ac\,}{4a^2}\,} }$$
　　$${ \rule{0ex}{5ex} x = - \dfrac{b}{2a} \pm\dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac\,}\,}{2a} }$$
　　$${ \rule{0ex}{5ex} x = \dfrac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac\,}\,}{2a} }$$

2. 係数を調整した平方完成

賢い付き合い方として、$${ 2nx }$$の項と$${ (mx)^2 }$$の項を作るように$${ 4a }$$倍して、$${ A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 }$$に嵌めやすく、二乗項の係数を無くす作戦がある。

　　$${ ax^2 + bx + c = 0 }$$
　　$${ (2ax)^2 + 2(2a)bx + 4ac = 0 }$$
　　$${ (2ax)^2 + 2(2a)bx + b^2 - b^2 + 4ac = 0 }$$
　　$${ (2ax + b)^2 - b^2 + 4ac = 0 }$$
　　$${ (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac }$$
　　$${ 2ax + b = \pm\sqrt{b^2 - 4ac\,} }$$
　　$${ 2ax = - b \pm\sqrt{b^2 - 4ac\,} }$$
　　$${ \rule{0ex}{5ex} x = \dfrac{- b \pm\sqrt{b^2 - 4ac\,}}{2a} }$$

これが見えるようになると、分母の$${ 2a }$$は係数を無くすために作った$${ (2ax)^2 }$$の係数と分かる。$${ -b }$$は平方完成で$${ bx }$$に由来する係数、$${ b^2 }$$はその帳尻合わせと分かる。$${ -4ac }$$は$${ c }$$に由来し、$${ 4a }$$倍した結果と分かる。

3. イージーモードの平方完成

そもそも分数になるのは$${ a }$$だったり、$${ b }$$が$${ 2 }$$で割り切れなかったりが原因で、突き詰めれば$${ ax^2 + bx + c = 0 }$$の形から出発すること自体がハードモードと言える。例えば、イージーモードの$${ x^2 + 2b + c = 0 }$$では分数にならずにスッキリする。

　　$${ x^2 + 2b + c = 0 }$$
　　$${ x^2 + 2b + b^2 - b^2 + c = 0 }$$
　　$${ (x + b)^2 - b^2 + c = 0 }$$
　　$${ (x + b)^2 = b^2 - c }$$
　　$${ x + b = \pm\sqrt{b^2 - c\,} }$$
　　$${ x = -b \pm\sqrt{b^2 - c\,} }$$

この形では、$${ -b }$$は$${ (x+b)^2 }$$の$${ b }$$であり、$${ x^2 + 2bx + b^2 }$$の$${ b }$$と分かる。$${ b^2 }$$は平方完成のための帳尻合わせ。

しかもこのイージーモードは別に一般性を失ってない。上の方で既に一般的な$${ ax^2 + bx + c = 0 }$$を$${ x^2 + \dfrac{b}{\,a\,} x + \dfrac{c}{\,a\,} = 0 }$$に変形している。さらに$${ x^2 + 2\dfrac{b}{\,2a\,} x + \dfrac{c}{\,a\,} = 0 }$$に変形すれば、$${ \dfrac{b}{\,2a\,} \to b' }$$、$${ \dfrac{c}{\,a\,} \to c' }$$に置換することで$${ x^2 + 2b' + c' = 0 }$$の形に作り変えられる。解の公式を理解できない人は、式をまずイージーモードに作り変えてから解けば良い。