相加相乗平均と関数の最大最小
問題
$${x\geqq 2,y\geqq1，\log_{2}{x^2y}=64}$$とする．このとき，$${(\log_{2}{x})(\log_{2}{y})}$$の最大値，最小値を求めよ．
解法
1.2次関数の最大・最小の問題として考える
$${x^2y=64}$$より，$${y=\frac{64}{x^2}}$$.
$${y\geqq1}$$より，
$$
\begin{align*}
\dfrac{64}{x^2} & \geqq 1\\
64 & \geqq x^2\\
\therefore 8 & \geqq x \geqq -8
\end{align*}
$$
$${x\geqq 2}$$とあわせて，$${8\geqq x \geqq 2}$$．
$${t=\log_{2}{x}}$$とおくと， $${3\geqq t \geqq 1}$$．
さらに，
$$
\begin{align*}
(\log_{2}{x})(\log_{2}{y})^2
&=6\log_{2}{x}-2(\log_{2}{x})^2\\
&=6t-2t^2\\
&=-2(t^2-3t)\\
&=-2\left(t-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{9}{2}
\end{align*}
$$
図より，$${t=\dfrac{3}{2}}$$，つまり$${x=2^{3/2}=2\sqrt{2}}$$のとき，最大値$${\dfrac{9}{2}}$$，$${t=3}$$，つまり$${x=2^{3}=8}$$のとき，最小値$${0}$$をとる．
2.相加相乗平均の大小関係を利用する
$${x=\log_{2}{x}}$$，$${\log_{2}{y}}$$とすると，$${x\geqq2}$$，$${y\geqq1}$$より，$${s\geqq1}$$，$${t\geqq0}$$．\\
よって，
$$
\begin{align*}
st \geqq 1 \cdot 0=0 \tag{1}
\end{align*}
$$
$${x^2y=64}$$より，
$$
\begin{align}
\log_{2}{x^2y}&=\log_{2}{64} \\
\log_{2}{x^2}+\log_{2}{y}&=\log_{2}{s^6} \\
2\log_{2}{x}+\log_{2}{y}&=6 \\
2s+t&=6 \tag{2}
\end{align}
$$
相加相乗平均の大小関係より，
$$
\begin{align*}
\dfrac{2s+t}{2} &\geqq \sqrt{2st}\\
\dfrac{6}{2} &\geqq \sqrt{2st}\\
3 &\geqq \sqrt{2st}
\end{align*}
$$
両辺を2乗して
$$
\begin{align}
9 & \geqq 2st \\
\dfrac{9}{2} & \geqq st \tag{3}
\end{align}
$$
(1)，(3)より，
$$
\begin{align*}
\dfrac{9}{2} \geqq st \geqq 0
\end{align*}
$$
左側の等号が成り立つのは$${2s=t}$$のとき．(2)と連立して解くと，
$${s=\dfrac{3}{2}}$$，$${t=\dfrac{3}{4}}$$，つまり，$${x=2\sqrt{2}}$$，$${y=8}$$のとき．
よって，$${x=2\sqrt{2}}$$，$${y=8}$$のとき，最大値$${\dfrac{9}{2}}$$をとる．
右側の等号が成り立つのは$${t=0}$$のとき，このとき，(2)より，$${s=3}$$．
よって，$${x=8}$$，$${y=1}$$のとき，最小値$${0}$$をとる．
3.2次方程式の解の存在範囲の問題として考える
$${x=\log_{2}{x}}$$，$${\log_{2}{y}}$$とすると，$${x\geqq2}$$，$${y\geqq1}$$より，$${s\geqq1}$$，$${t\geqq0}$$．
$${x^2y=64}$$より，
$$
\begin{align}
\log_{2}{x^2y}&=\log_{2}{64} \\
\log_{2}{x^2}+\log_{2}{y}&=\log_{2}{s^6} \\
2\log_{2}{x}+\log_{2}{y}&=6 \\
2s+t&=6 \tag{4}
\end{align}
$$
ここで$${st=k}$$とすると，$${s}$$，$${t}$$は$${z}$$の2次方程式
$$
\begin{align*}
z^2-6z+2k=0 \tag{4}
\end{align*}
$$
の解である．いま$${s\geqq 1}$$，$${t\geqq 0}$$だから，$${z}$$の2次方程式(4)は0以上の解と2以上の解を1つずつもたなければならない．このとき，2次方程式(4)の判別式を$${D}$$とすると，
$$
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}=3^2-2k=9-2k
\end{align*}
$$
であり，
$$
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}\geqq 0 かつ 2k \geqq 0
\end{align*}
$$
が成り立たなければならない．これを解いて，$${\dfrac{9}{2}\geqq k \geqq 0}$$．
$${k=\dfrac{9}{2}}$$のとき，2次方程式(4)の解は
$$
\begin{align*}
z=-\dfrac{-6}{2}=3
\end{align*}
$$
よって，$${2s=t=3}$$．$${s=2^x}$$，$${t=2^y}$$より，$${x=2\sqrt{2}}$$，$${y=8}$$
$${k=0}$$のとき，$${z=0,6}$$．$${2s\geqq 2}$$，$${t\geqq 0}$$より，$${2s=6}$$，$${t=0}$$，つまり$${x=8}$$，$${y=1}$$のとき．
$${x=2\sqrt{2}}$$，$${y=8}$$のとき，最大値$${\dfrac{9}{2}}$$
$${x=8}$$，$${y=1}$$のとき，最小値$${0}$$