累乗と累乗根

長らく更新が止まっておりました。頑張ります。久しぶりの更新ですが、高校の難しい分野に入っていきます。まずは、累乗と累乗根です。

累乗は2乗、3乗のように○乗と表現されはものです。3^2 = 3 × 3 = 9、3^3 = 3 × 3 × 3 = 27といったものです。つまりaをp個掛けたものをaのp乗といい、a^pと表現します。この時、aを底、pを指数といい指数は整数だけではないく分数、負の数でも表されます。

続いて累乗根です。p乗するとaになる数をaのp乗根といい、p√a と表現します。例えば3 × 3 × 3 は 27 なので 3√27 = 3となり「3は27の3乗根」といいます。4 × 4 × 4 の場合は 64 なので 3√64 = 4 となり「4は64の3乗根」と表現します。2乗根は別名平方根と呼ばれ、2√a の2が省かれ√aと表現されます。

以下、指数・累乗根の性質をまとめたものです。

a>0, b>0とする
・a^0 = 1
・a^p × a^q = a^p+q
・(a^p)^q = a^p×q
・(ab)^p = a^p × b^p
・a^-1 = 1/a^p
・p√a × p√b = p√ab
・p√q√a = p×q√a
・p√a = a^1/p

直感的に理解しづらいのは、a^-1 でしょうか。指数が負になっても、全体の値が負になるわけではありません。指数の絶対値を分母に、1を分子にした値と同じになります。

例えば、
2^-1 × 2^2 = 1/2 × 4 = 2
となります。

これは a^p × a^q = a^p+q を使って
2^-1 × 2^2 = 2^(-1 + 2) = 2 と計算することもできます。

では実際に問題を解いてみましょう。
問1
4^4 × 2^-1 ÷ 2^2

問2
3√81 × 3√9

問3
3√√64

解答

問1
4^4 × 2^-1 ÷ 2^2 のように底が揃っていない場合はまず底を揃え、
(2^2)^4 × 2^-1 ÷ 2^2 とします。
次に割り算を掛け算に直しますが、このとき正は負に、負は正に変わります。
(2^2)^4 × 2^-1 × 2^-2
＝ 2^8 × 2^-1 ÷ 2^-2

底が揃っている場合は、指数を足すと綺麗な形になります。
2^(8 - 1 - 2)
= 2^5 (= 32) が答えになります。

問2
3√81 × 3√9
= 81^1/3 × 9^3
=(3^4)^1/3 × (3^2)^1/3
=3^4/3 × 3^2/3
= 3^(4/3 + 2/3)
=3^6/3 = 3^2
= 9 が答えです

問3
3√√64
= 6√64
= 64^1/6 = (2^6)^1/6
= 2^6/6 = 2^1 = 2 が答えとなります。

ざっくりとした説明にはなりますが、今回の説明がなんとなく理解できていれば何の問題もございません！！！

次回は「指数関数と対数関数」についてです。
次回も見てくれよな！サービスサービスぅ！