指数関数と対数関数

指数関数

さあでは次に指数関数についてです。
指数関数とは、指数を変数とした関数のことです。以下、指数関数の定義です。

a > 0, a ≠ 1
y = a^x

と表される関数を指数関数といいます。指数関数のグラフは以下のようになります。

※グラフの汚さはご容赦ください。

指数関数はa >1のときは右上がりのグラフ、0 < a < 1のときは右下がりのグラフになるのが特徴です。

x = 0のとき a^0 = 1、x = 1のときa^1 = aなので、どちらも(0, 1), (1, a)をとおるのが特徴と言えます。

対数関数

次は対数関数についてです。
対数は指数の反対の逆の関係にあたります。

定義
ある数xがa^yで表されるときの指数yを、aを底とするxの対数といい、記号logを用いて y= log[a]xと表される。このとき、aを底、xを真数という。ただし、a > 0, a ≠1 かつx > 0

例えば、log[2]4 の値を求めてみると、2^○ = 4となる数を探せばいいわけです。2を何乗したら4になるか、答えは2ですね。

log[3]27 の場合は 3^○ ＝ 27となる数字を探せばいいので、答えは3です。

次に公式です。

以下 a > 0, a ≠1, X, Y > 0とする
①log[a]a = 1
②log[a]1 = 0
③log[a]XY = log[a]X + log[a]Y
④log[a]X/Y = log[a]X - log[a]Y
⑤log[a]X^p = plog[a]X
⑥c > 0, c ≠ 1とする
log[a]X = log[c]X / log[c]a

①は、a^○ = a となるのでもちろん1になります。
②は、a^0 = 1から導けます。
③④は、logの中の掛け算割り算が、足し算引き算で表せることを示しています。
⑤は、指数はlogの係数にできることを示しています。
⑥は、底の変換公式といって、この公式を利用すると体の部分を任意に数に変換できます。

この真数を変数とした関数が対数関数です。

定義 a > 0, a ≠ 1とする。xを正の変数として
y = log[a]x
と表される関数を対数関数という。

人工知能ではこう使われる

・人工知能では、尤も(もっとも)らしさを表す度合として尤度(ゆうど)が使われます。尤度を示す関数を尤度関数といいます。

・尤度関数は、式的には確立式と同じになり、0以上 1以下の値をとります。

・尤度関数を掛け算すると、尤度は1以下で表現されるので、値はどんどん小さくなり扱いにくいため、尤度の対数(log)をとって計算する対数尤度関数が用いられることが多いです。

・対数を取ることで、log[a]XY = log[a]X + log[a]Yという式を適用でき、掛け算を足し算で表現することによって、値が小さくなり計算しやすくなります。

以上が指数関数と対数関数の説明です。前回よりレベルが少し上がってるので難しいと感じた方はネット等で調べてみてください。

練習問題は追って更新します。